1. वास्तविक संख्याएँ
अभ्यास 1.1
प्र०1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये |
(i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255
हल:
(1) 135 और 225
a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
225 = 135 ×1 + 90
135 = 90 ×1 + 45
90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 45
हल:
(ii) 196 और 38220
a = 38220, b = 196 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 196
हल:
(iii) 867 और 255
a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 196
प्र०2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |
हल:
दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5
माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है; जहाँ b = 6 होगा,
जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;
जहाँ 0 ≤ r < b
यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |
शेषफल होगा 1 या 3 या 5
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;
a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5
प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?
हल:
स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)
a = 616, b = 32 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
616 = 32 ×19 + 8 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
32 = 8 × 4 + 0
b = 8 {b का मान HCF होता है}
HCF = 8
इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8
प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |
हल :
दर्शाना है : a2 = 3m or 3m + 1
a = bq + r
माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3
तब a = 3q + r कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0
इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2
अब हम पाते है;
⇒ a2 = (3q + 0)2 or (3q + 1)2 or (3q +2)2
⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 4
⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 3 + 1
⇒ a2 = 3(3q2) or 3(3q2 + 2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) + 1
यदि m = (3q2) or (3q2 + 2q) or (3q2 + 4q + 1) हो तो
हम पाते है कि ;
a2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1
प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |
हल:
माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;
युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;
a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b
b = 9 रखने पर
a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9
जब r = 0 हो;
a = 9q + 0 = 9q
a3 = (9q)3 = 9(81q3) या 9m जहाँ m = 81q3
जब r = 1 हो
a = 9q + 1
a3 = (9q + 1)3 = 9(81q3 + 27q2 + 3q) + 1
= 9m + 1 जहाँ m = 81q3 + 27q2 + 3q
जब r = 2 हो तो
a = 9q + 2
a3 = (9q + 2)3 = 9(81q3 + 54q2 + 12q) + 8
= 9m + 2 जहाँ m = 81q3 + 54q2 + 12q
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |
प्रश्नावली 1.2
Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140
हल:
140 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 5 × 7
(ii) 156
हल:
156 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 3 × 13
(iii) 3825
हल:
3825 का अभाज्य गुणनखंड
= 32 × 52 × 17
(iv) 5005
हल:
5005 का अभाज्य गुणनखंड
= 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429
हल:
7429 का अभाज्य गुणनखंड = 17 x 19 x 23
Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है|
(i) 26 and 91
हल:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
सार्व गुणनखंड = 13
∴ HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
अब, जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
26 × 91 = 13 × 182
2366 = 2366
इति सिद्धम |
(ii) 510 and 92
हल:
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
सार्व गुणनखंड = 2
∴ HCF = 2
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
अब, जाँच,
दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
510 × 92 = 2 × 23460
46920 = 46920
इति सिद्धम |
(iii) 336 and 54
हल:
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 3
∴ HCF = 6
LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024
जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
336 × 54 = 6 × 3024
18144 = 18144
इति सिद्धम |
Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |
(i) 12, 15 and 21
हल:
12 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
21 = 7 × 3
सार्व गुणनखंड = 3
HCF = 3
LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23 and 29
हल:
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 and 25
हल:
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
25 = 5 × 5
यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है |
∴ HCF = 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 8 × 9 × 25
= 1800
Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए |
हल:
HCF (306, 657) = 9
LCM × HCF = N1 × N2
LCM = 22338
Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है |
हल:
6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )n
जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है |
अत:, 6n शून्य पर समाप्त नहीं होगी |
Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?
हल :
माना A = 7 × 11 × 13 + 13
= 13 (7 × 11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 × 78
अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |
इसीप्रकार,
माना B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1)
= 5 × 1009
अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |
Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल:
एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |
रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |
वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |
अत:
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
HCF = 2 × 3 = 6
= 36 मिनट |
प्रश्नावली 1.3
Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :
इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है |
हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q ≠ 0 है |
इसलिए,
यहाँ 5 a2 को विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ....(1)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
अत: a = 5c माना [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]
5b2 = a2 में a = 5c रखने पर
⇒ 5b2 = (5c)2
⇒ 5b2 = 25c2
⇒ b2 = 5c2
यहाँ 5 b2 को विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | .....(2)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |
Q2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :
इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |
हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q ≠ 0 है |
इसलिए,
और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |
चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है |
इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |
ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |
अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |
यहाँ 2 b2 को विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ....(1)
[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]
अत: b = 2c माना [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ]
यहाँ 2 a2 को विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि
प्रश्नावली 1.4
Q1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :
हल :
हर का अभाज्य गुणनखंड 55 है और इसे 2m × 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |
हर का अभाज्य गुणनखंड 23 है और इसे 2m × 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |
हर का अभाज्य गुणनखंड 5 × 7 × 13 है और इसे 2m × 5n के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है अत: यह एक असांत दशमलव प्रसार है |
हर का अभाज्य गुणनखंड 26 × 52 है और यह 2m × 5n के रूप में व्यक्त है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |
Q2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं |
हल : प्रश्न संख्या 1 में सांत दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित हैं |
(i), (ii), (iii), (iv), (vi), (viii) और (ix)
Chapter 2. बहुपद
प्रश्नावली 2.3
प्रश्नावली 2.3
Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
हल : (i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
भागफल q(x) = x - 3 और शेषफल = 7x - 9 है |
हल : (ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
भागफल q(x) = x2 + x - 3 और शेषफल = 8 है |
हल : (iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
भागफल q(x) = - x2 - 2 और शेषफल = - 5x + 10 है |
Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल : (i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |
हल : (ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |
हल : (iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |
अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |
हल :
दिया है : p(x) = 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5
अब 3x2 - 5 से 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 में भाग देने पर
अत: p(x) = (3x2 - 5) (x2 + 2x + 1)
अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर -
Q4. यदि x3 - 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2 और - 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : भाज्य p(x) = x3 - 3x2 + x + 2
भागफल q(x) = x - 2,
शेषफल r(x) = - 2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
x3 - 3x2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)
x3 - 3x2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)
g(x) (x - 2) = x3 - 3x2 + 3x - 2
अत: भाजक g(x) = x2 - x + 1 है |
Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0 हो
हल :
युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ q(x) ¹ 0 हो
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |
उदाहरण : माना p(x) = 2x2 - 6x + 3
और माना g(x) = 2
भाग देने पर
p(x) = 2x2 - 6x + 2 + 1
= 2(x2 - 3x + 1) + 1
अब 2(x2 - 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :
अत: q(x) = x2 - 3x + 1 और r(x) = 1
इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे -
माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2
भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3
अत: घात q(x) = घात r(x) है |
(iii) घात r(x) = 0 हो
हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :
माना p(x) = x2 - 1 और g(x) = x + 1
विभाजित करने पर
q(x) = x - 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |
Chapter 2. बहुपद
प्रश्नावली 2.4
प्रश्नावली 2.4
Q1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x3 + x2 - 5x + 2; α = ½, β = 1 और γ = – 2;
हल :
दिया है : शुन्यक α = ½, β = 1 और γ = – 2 है |
और गुणांक a = 2, b = 1, c = - 5 और d = 2
शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच :
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.1
प्रश्नावली 3.1
Q1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, 'सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा |' (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए |
हल :
माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x - 7 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु = y - 7 वर्ष
स्थित - I
x - 7 = 7(y - 7)
x - 7 = 7y - 49
x - 7y = 7 - 49
x - 7y = - 42 ......... (1)
3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष
और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष
स्थित - II
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x - 3y = 9 - 3
x - 3y = 6 ....... (2)
बीजगणितीय रूप में :
x - 7y = - 42 ......... (1)
x - 3y = 6 ....... (2)
ग्राफीय रूप में प्रदर्शन:
x - 7y = - 42
x = - 42 + 7y
x - 3y = 6
x = 6 + 3y
Q2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदी | बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |
हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये
और एक गेंद का मूल्य = y रुपये
अत: बीजगणितीय निरूपण
3x + 6y = 3900 ………. (1) और
x + 2y = 1300 ………. (2)
समी० (1) से
3x + 6y = 3900
3(x + 2y) = 3990
या x + 2y = 1300
x = 1300 - 2y
इसी प्रकार समी० (2) से
x + 2y = 1300
x = 1300 - 2y
ग्राफीय निरूपण
Q3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था | एक महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |
हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया
और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया
अत: बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 ……… (1)
4x + 2y = 300 …….. (2)
ग्राफीय निरूपण :
समी० (1) से
2x + y = 160
y = 160 - 2x
अब समी० (2) से
4x + 2y = 300
या 2x + y = 150
y = 150 - 2x
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.2
प्रश्नावली 3.2
Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |
(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया | यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए |
हल :
माना लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार,
लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है |
इसलिए, x + y = 10 ........ (1)
लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |
इसलिए, x - y = 4 ........ (2)
समी० (1) के लिए तालिका
x + y = 10
⇒ x = 10 - y
समी० (2) के लिए तालिका
x - y = 4
⇒ x = 4 + y
ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |
इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है |
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रू. है | एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए |
हल :
माना एक पेन्सिल का मूल्य = x रू०
और एक कलम का मूल्य = y रू०
प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50 ……… (1) और
7x + 5y = 46 ……..(2)
समी० (1) से
5x + 7y = 50
⇒ 5x = 50 - 7y
ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |
इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है |
(i) 5x - 4y +8 = 0
7x + 6y - 9 = 0
(ii) 9x +3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
हल :
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
हल :
(iii) 6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9
हल :
(i) 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7
a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5
a2 = 2, b2 = -3, c2 = 7
हल :
(ii) 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9
a1 = 2, b1 = -3, c1 = 8
a2 = 4, b2 = -6, c2 = 9
Q4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |
(i) x+y = 5, 2x +2y = 10
(ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16
(iii) 2x + y -6 = 0, 4x- 2y - 4 = 0
(iv) 2x - 2y- 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0
हल :
Q5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है | बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m
और चौड़ाई = y m है |
अर्धपरिमाप = 36 m
अत: बाग की लंबाई = 20 मीटर
और चौड़ाई = 16 मीटर
Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y - 8 = 0 दी गई है | दी चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों | (ii) समांतर रेखाएँ हों|
(iii) संपाती रेखाएँ हों |
हल : 2x + 3y - 8 = 0 ............ (i) (दिया है)
हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो
रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए
Q7. समीकरणों x - y + 1 = 0 और 3x + 2y - 12 = 0 का ग्राफ खींचिए | x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए |
हल :
x – y + 1 = 0 …………. (i)
3x + 2y – 12 = 0 ………….(ii)
समीकरण (i) से
x – y + 1 = 0
या y = x + 1
अब x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 1, 2 और 3 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है –
अब इसमें x का मान 0, 2 और 4 रखने पर y का मान क्रमश: 6, 3 और 0 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है |
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.3
प्रश्नावली 3.3
Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
हल Q1:
(i) x + y = 14 ............ (i)
x - y = 4 ............ (ii)
प्रतिलोपन विधि से
समीकरण (ii) से
x - y = 4
x = 4 + y
अब समीकरण (i) में x का मान 4 + y रखने पर
x + y = 14
या (4 + y) + y = 14
या 4 + 2y = 14
या 2y = 14 - 4
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है –
x = 2 और y = 3
Q2. 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें 'm' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |
हल :
2x + 3y = 11 ............. (i)
2x - 4y = - 24 ........... (ii)
समीकरण (i) से
2x + 3y = 11
अब m का मान प्राप्त करने के लिए x और y का मान y = mx + 3 में रखने पर
Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
हल : माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |
तो प्रश्नानुसार,
स्थिति (I)
x – y = 26 ............. (i)
स्थिति (II)
x = 3y ............. (ii)
अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर
x – y = 26
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
हल :
माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है
और छोटा कोण y है |
अत: स्थिति (II)
x – y = 18° ............... (i)
x + y = 180° ........... (ii)
(संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)
अब समीकरण (i) से
x – y = 18°
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|
हल :
माना एक बल्ले का मूल्य x रुपये
और एक गेंद का मूल्य y रुपये है |
स्थित I
7 बल्ले + 6 गेंद = 3800
अत: एक बल्ले का मूल्य 500 रुपया है और एक गेंद का मूल्य 50 रुपया है |
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा ज्ञात कीजिए और एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा?
हल : माना टैक्सी का नियत भाडा x रुपया है |
और प्रत्येक अतिरिक्त प्रति किलोमीटर के लिए भाडा y रुपया है |
स्थिति I
x + 10y = 105 ........... (i)
स्थिति II
x + 15y = 155 ............ (ii)
समीकरण (i) से
x + 10y = 105
अत: नियत भाडा 5 रुपया और अतिरिक्त किराया 10 रुपया है |
25 km के लिए भाडा = x + 25y
= 5 + 25(10)
= 5 + 250
= 255 रुपये
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल : माना जैकब की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |
और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु y वर्ष है |
स्थिति I
पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु = x + 5 वर्ष
और उसके पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष
अत: x + 5 = 3(y + 5)
अत: जैकब की वर्त्तमान आयु 40 वर्ष और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु 10 वर्ष है |
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.4
प्रश्नावली 3.4
Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7
विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है | (ATP Education Help)
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1
हल :(iii) 3x - 5y - 4 = 0
या 3x – 5y = 4 ......... (i)
9x = 2y + 7
या 9x - 2y + 7
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = - 3
Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :
(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)
अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?
हल : माना नूरी की आयु x वर्ष
और सोनू की आयु y वर्ष
स्थिति I
पाँच वर्ष पूर्व,
नूरी की आयु = x - 5 वर्ष
सोनू की आयु = y - 5 वर्ष
प्रश्नानुसार,
x - 5 = 5(y - 5)
या x - 5 = 5y - 25
या x - 5y = 5 - 25
या x - 5y = - 20 ............ (i)
स्थिति II
दस वर्ष बाद,
नूरी की आयु = x + 10 वर्ष
सोनू की आयु = y + 10 वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2(y + 10)
या x + 10 = 2y + 20
या x - 2y = 20 - 10
या x - 2y = 10 ............ (ii)
(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)
अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |
(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |
हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |
और दहाई का अंक y है |
तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,
और पलटी हुई संख्या = 10x + y
स्थित I
x + y = 9 ........... (i)
स्थिति II
9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)
या 9(10y + x) = 2(10x + y)
या 90y + 9x = 20x + 2y
या 20x - 9x + 2y - 90y = 0
या 11x - 88y = 0
या x - 8y = 0
या x = 8y ........... (ii)
समीकरण (i) में x = 8y रखने पर
x + y = 9
या 8y + y = 9
या 9y = 9
या y = = 1
y = 1 समीकरण दो में रखने पर
x = 8y = 8 × 1 = 8
अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 18
(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |
हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |
और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |
स्थित I
कुल नोट की संख्या = 25
अत: x + y = 25 ........... (i)
अब स्थित II
50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये
अत: 50x + 100y = 2000
या x + 2y = 40 ........... (ii) (सरल करने पर)
(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |
हल :
माना नियत किराया = x रुपया
और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया
स्थिति I
x + 7y = 27 ......... (i)
स्थिति II
x + 5y = 21 ........... (ii)
अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.5
प्रश्नावली 3.5
Q1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज - गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |
(i) x - 3y = 0
3x - 9y - 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x - 5y = 20
6 x - 10y = 40
(iv) x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 = 0
Q2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a - b)x + ( a + b)y = 3a + b - 2
(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
( 2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1
Q3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज - गुणन विधियों से हल कीजिए |
किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Q4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |
(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |
(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.6
प्रश्नावली 3.6
Q1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :
(i) 1/2x +1/3y - 2
1/3x + 1/2y - 13/6
(ii) 2/x +3/y = 2
4/x - 9 /y = -1
(iii) 4/x + 3y - 14
3/x - 4y -23
(iv) 5/x -1 + 1/y - 2 - 2
6/x - 1 - 3/y - 2 - 1
(v) 7x - 2y/ xy - 5
8x + 2y/ xy - 15
(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
(vii) 10/x +y, + 2 /x - y,- -2
(viii) 1/3x+y,+ 1/3x - y - 3/4
1/2(3x + y) - 2(3x - y) - -1/8
Q2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(1) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है | उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए |
(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा |
(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं | रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए |
Chapter 3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
प्रश्नावली 3.7
प्रश्नावली 3.7
Q 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |
Q2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ' यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा |' दूसरा उत्तर देता है ' यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|' बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?
Q3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात
कीजिए |
Q4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो | पंक्ति कम होती | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए |
Q5. एक त्रिभुज ABC में, है | त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए |
Q6. समीकरणों 5x - y = 5 और 3x - y = 3 के ग्राफ खींचिए | इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए |
Q7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p - q
qx - pq = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) x/a - y/b = 0
ax + by = a2 + b2
(iv) (a - b)x + (a + b)y = a2 - 2ab - b2
(a + b) (x + y ) = a2 + b2
(v) 152x - 378y = -74
-378x + 152y = - 604
Q8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए |
Chapter 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्नावली 4.1
Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)
हल :
(x + 1)2 = 2(x - 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6
⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)
हल :
x2 - 2x = - 6 + 2x
⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0
⇒ x2 - 4x + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
हल : (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
⇒ x2 + x - 2x -2 = x2 + 3x - x - 3
⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0
⇒ 2x - x - 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
⇒ 2x2 + x - 6x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - 5x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - x2 - 5x - 5x - 3 = 0
⇒ x2 - 10x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
हल : (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ 4x2 - 12x - 2x + 6 = x2 + 4x - 5
⇒ 4x2 - 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5
⇒ 4x2 - x2 - 14x - 4x + 6 + 5 = 0
⇒ 3x2 - 18x + 11 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
हल : x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 - 2x +4
⇒x2 - x2 + 4x + 3x + 1 - 4 = 0
⇒ 7x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1)
हल :(x + 2)3 = 2x( x2 - 1)
⇒ x3 + 8 + 6 + 12x = 2x3 - 2x
⇒ 2x3 - x3 - 6-12x + 2x - 8 = 0
⇒ x3 - 6x2 -10x - 8 =0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
हल : x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
⇒x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 8 + 6x2 + 12x
⇒ x3 - x3 - 4x2 + 6x2 -12x + 1 = 0
⇒ 2x2 -13x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |
हल : एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
लंबाई x चौड़ाई = 528
(2x + 1)x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x - 528 = 0
2x2 + 33x - 32x - 528 = 0
x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0
(2x + 33) (x - 16) = 0
2x + 33 = 0 तथा x - 16 = 0
2x = - 33 तथा x = 16
x = - 33/2 तथा x = 16
चूँकि
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m
= 16 m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2X+ 1 m
= 2 x 16 + 1 m
= 32 + 1 m
= 33m
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306
(x + 1)x = 306
x2 + x = 306
x2 + x - 306 = 0
2x2 + 18x - 17x - 306 = 0
x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0
(x + 18) (x - 17) = 0
x + 18 = 0 तथा x - 17 = 0
x = - 18 तथा x = 17
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x
= 17
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 17 + 1
= 18
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |
हल : माना रोहन की वर्तमान आयु = x
रोहन की माँ की आयु = x + 26
तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x + 3
तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
दोनो की आयु का गुणनफल = 306
(x + 29)(x + 3) = 306
x2 + 29x + 3x + 87 = 306
x2 + 32x + 87 = 306
x2 + 32x = 273
x2 + 32x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 =0
x(x + 39) - 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x - 7) = 0
x + 39 = 0 तथा x - 7 = 0
x = - 39 तथा x = 7
चूँकि
रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु = x + 26
= 7 + 26
= 33 वर्ष
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
हल :
माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |
Chapter 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्नावली 4.1
Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)
हल :
(x + 1)2 = 2(x - 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6
⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)
हल :
x2 - 2x = - 6 + 2x
⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0
⇒ x2 - 4x + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
हल : (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
⇒ x2 + x - 2x -2 = x2 + 3x - x - 3
⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0
⇒ 2x - x - 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
⇒ 2x2 + x - 6x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - 5x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - x2 - 5x - 5x - 3 = 0
⇒ x2 - 10x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
हल : (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ 4x2 - 12x - 2x + 6 = x2 + 4x - 5
⇒ 4x2 - 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5
⇒ 4x2 - x2 - 14x - 4x + 6 + 5 = 0
⇒ 3x2 - 18x + 11 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
हल : x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 - 2x +4
⇒x2 - x2 + 4x + 3x + 1 - 4 = 0
⇒ 7x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1)
हल :(x + 2)3 = 2x( x2 - 1)
⇒ x3 + 8 + 6 + 12x = 2x3 - 2x
⇒ 2x3 - x3 - 6-12x + 2x - 8 = 0
⇒ x3 - 6x2 -10x - 8 =0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
हल : x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
⇒x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 8 + 6x2 + 12x
⇒ x3 - x3 - 4x2 + 6x2 -12x + 1 = 0
⇒ 2x2 -13x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |
हल : एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
लंबाई x चौड़ाई = 528
(2x + 1)x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x - 528 = 0
2x2 + 33x - 32x - 528 = 0
x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0
(2x + 33) (x - 16) = 0
2x + 33 = 0 तथा x - 16 = 0
2x = - 33 तथा x = 16
x = - 33/2 तथा x = 16
चूँकि
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m
= 16 m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2X+ 1 m
= 2 x 16 + 1 m
= 32 + 1 m
= 33m
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306
(x + 1)x = 306
x2 + x = 306
x2 + x - 306 = 0
2x2 + 18x - 17x - 306 = 0
x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0
(x + 18) (x - 17) = 0
x + 18 = 0 तथा x - 17 = 0
x = - 18 तथा x = 17
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x
= 17
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 17 + 1
= 18
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |
हल : माना रोहन की वर्तमान आयु = x
रोहन की माँ की आयु = x + 26
तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x + 3
तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
दोनो की आयु का गुणनफल = 306
(x + 29)(x + 3) = 306
x2 + 29x + 3x + 87 = 306
x2 + 32x + 87 = 306
x2 + 32x = 273
x2 + 32x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 =0
x(x + 39) - 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x - 7) = 0
x + 39 = 0 तथा x - 7 = 0
x = - 39 तथा x = 7
चूँकि
रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु = x + 26
= 7 + 26
= 33 वर्ष
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
हल :
माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |
दुरी = 480 km
Chapter 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.2
प्रश्नावली 4.2
Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 - 3x - 10 = 0
हल : x2 - 3x - 10 = 0
x2 - 5x + 3x - 10 = 0
x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x - 5 = 0 तथा x + 2 = 0
x = 5 तथा x = - 2
(ii) 2x2 + x - 6 = 0
हल : 2x2 + x - 6 = 0
2x2 + 4x - 3x - 6 = 0
x(x + 2 ) - 3(x + 2) = 0
(x + 2) (x - 3) = 0
x + 2= 0 तथा x - 3 = 0
x = - 2 तथा x = 3
(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0
हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0
√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) - √2(√2x + 5) = 0
(√2x + 5) (x - √2) = 0
√2 x + 5 = 0 तथा x - √2 = 0
√2x = - 5 तथा x = √2
x = - 5 /√2 तथा x = √2
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0
हल : 2x2 - x + 1/8 = 0
2x2 - x + 1/8 = 0
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
हल : 100x2 - 20x + 1 = 0
100x2 - 10x - 10x + 1 = 0
x(10x - 1) -1(10x - 1) = 0
(x - 1)(10x - 1) = 0
10x - 1 = 0 तथा 10x - 1 = 0
10x = 1 तथा 10x = 1
x = 1/10तथा x = 1/10
Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|
1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
हल : जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45
माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x
कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-
जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x - 5
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x - 5
= 40 - x
शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124
(x - 5)(40 - x) = 306 124
40x - x2 - 200 + 5x = 124
- x2 + 40x + 5x - 200 - 124 = 0
- x2 + 45x - 324 = 0
x2 - 45x + 324 = 0
x2 - 36x - 9x + 324 = 0
x(x - 36 ) - 9(x - 36) = 0
(x - 36)(x - 9) = 0
x - 36 = 0 तथा x - 9 = 0
x = 36 तथा x = 9
चूँकि x के दो मान है इसलिए
2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x रुपय
उस दिन कुल निर्माण लागत = 750
x(55 - x) = 750
55x - x2 = 750
- x2 + 55x - 750 = 0
x2 - 55x + 750 = 0
x2 - 30x - 25x + 750 = 0
x(x - 30 ) - 25(x - 30) = 0
(x - 30)(x - 25) = 0
x - 30 = 0 तथा x - 25 = 0
x = 30 तथा x = 25
माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
= 25
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x
= 55 - 25
= 30 रूपय
Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |
हल : संख्याओं का योग = 27
संख्याओं का गुणनफल = 182
माना पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = x + 1
दोनों संख्या का गुणनफल = 182
x(27 - x) = 182
27x - x2 = 182
- x2 + 27x - 182= 0
x2 - 27x + 182 = 0
x2 - 14x - 13x + 182 = 0
x(x - 14 ) - 13(x - 14) = 0
(x - 14)(x - 13) = 0
x - 14 = 0 तथा x - 13 = 0
x = 14 तथा x =13
पहली संख्या = x
= 13
दूसरी संख्या = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग = 365
(x)2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 - 365 = 0
2x2 + 2x + 1 - 365 = 0
2x2 + 2x - 364 = 0
2(x2 + x - 182) = 0
x2 + x - 182 = 0/2
x2 + x - 182 = 0
x2 + 14x - 13x - 182 = 0
x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
(x + 14) (x - 13) = 0
x + 14 = 0 तथा x - 13 = 0
x = - 14 तथा x = 13
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x
= 13
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7cm
समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm
पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2
AC2 = AB2 + BC)2
(13)2 = (x - 7)2 + (x)2
169 = x2 - 14x + 49 + x2
169 - 49= 2x2 - 14x
120 = 2(x2 - 7x)
x2 - 7x = 2/120
x2 - 7x - 60 = 0
x2 - 12x + 5x - 60 = 0
x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
(x - 12) (x + 5) = 0
x - 12 = 0 तथा x + 5 = 0
x = 12 तथा x = - 5
चूँकि
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
= 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7 cm
= 12 - 7
= 5 cm
Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |
हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
प्रत्येक नाग की निर्माण लागत = 2x + 3
उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये
x(2x + 3) = 90
2x2 + 3x = 9
2x2 + 3x - 90 = 0
2x2 + 15x - 12x - 90 = 0
x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0
(2x + 15)(x - 6) = 0
2x + 15 = 0 तथा x - 6 = 0
x = - 15 तथा x = 6
माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
= 6
उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3
= 2 x 6 + 3
= 12 + 3
= 15 रूपये
Chapter 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.3
प्रश्नावली 4.3
Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x - 4 = 0
(iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
हल : 2x2 - 7x + 3 = 0
a = 2, b = -7 और c = 3
D = b2 - 4ac
D = (7)2 - 4x2x3
D = 49 - 24
D = 25
b2 - 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |
2x2 - 7x + 3 = 0
दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर
8(2x2 - 7x + 3 = 0)
16x2 - 56x + 24 = 0
( (4x)2 - 2.4x.7 + (7)2 ) - (7)2 + 24 = 0 ( a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 )
(4x - 7)2 - 49 + 24 = 0
(4x - 7)2 - 25 = 0
(4x - 7)2 = 25
4x - 7 = 25
हल : (ii) 2x2 + x - 4 = 0
a = 2, b = 1 और c = -4
D = b2 - 4ac
D = (1)2 - 4x2x(-3)
D = 1 + 24
D = 25
b2 - 4ac > 0
अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |
2x2 + x - 4 = 0
दो से भाग देने पर
अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |
2x2 + x - 4 = 0
दो से भाग देने पर
हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0
a = 2, b = 1, c = 4
D = b2 - 4ac
D = (1)2 - 4 × 2 × 4
D = 1 - 32
D = -31
b2 - 4ac < 0 अर्थात D < 0
अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |
Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए |
हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है -
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x - 4 = 0
हल : (i) 2x2 - 7x + 3 = 0
द्विघाती सूत्र द्वारा :
a = 2, b = - 7, c = 3
हल : (ii) 2x2 + x - 4 = 0
द्विघाती सूत्र द्वारा :
a = 2, b = 1, c = - 4
Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
द्विघाती सूत्र से -
हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |
तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x - 3 वर्ष
m
=> x2 + 2x - 15 = 3(2x + 2)
=> x2 + 2x - 15 = 6x + 6
=> x2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0
=> x2 - 4x - 21 = 0
=> x2 - 7x + 3x - 21 = 0
=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0
=> (x - 7) (x + 3) = 0
=> x - 7 = 0, x + 3 = 0
=> x = 7 और x = - 3
अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है |
Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |
हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |
इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - x
प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 - x - 3) = 210
या (x + 2) (27 - x) = 210
या 27x - x2 + 54 - 2x = 210
या 25x - x2 + 54 = 210
या x2 - 25x + 210 - 54 = 0
या x2 - 25x + 156 = 0
या x2 - 12x - 13x + 156 = 0
या x(x - 12) - 13(x - 12) = 0
या (x - 12) (x - 13) = 0
या x - 12 = 0, x - 13 = 0
या x = 12 अथवा x = 13
अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 12 = 18
और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 13 = 17
Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m
तो बड़ी भुजा = x + 30 m और
विकर्ण = x + 60 m
प्रश्नानुसार,
चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,
पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से -
AC2 = AB2 + BC2
=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2
=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900
=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900
=> 2x2 - x2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0
=> x2 - 60x - 2700 = 0
=> x2 - 90x + 30x - 2700 = 0
=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0
=> (x - 90) (x + 30) = 0
=> x - 90 = 0, x + 30 = 0
=> x = 90 और x = - 30
चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती
अत: छोटी भुजा = 90 m
तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m
और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m
Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
हल : माना बड़ी संख्या = x
तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x
प्रश्नानुसार,
बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180
x2 - 8x = 180
या x2 - 8x - 180 = 0
=> x2 - 18x + 10x - 180 = 0
=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0
=> (x - 18) (x + 10) = 0
=> x - 18 = 0, x + 10 = 0
=> x = 18 और x = -10
अत: बड़ी संख्या 18 है, x = - 10 नहीं लिया जा सकता |
अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144
Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |
हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h
तय दुरी = 360 km
चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है |
चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h
हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |
तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x - 10 घंटे में
(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )
अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा - 25 घंटे में
तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 - 10 = 15 घंटे में
Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |
हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h
तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h
मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km
- 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे
अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h
Q11 दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m
पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m
प्रश्नानुसार, स्थित I
4x - 4y = 24
x = 18, x = - 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )
पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 - 6 = 12 m
Chapter 4. द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.4
प्रश्नावली 4.4
Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0
{नोट - मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 - 4ac ज्ञात करेंगे |
यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |}
हल : (i) 2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2, b = -3 और c = 5
D = b2 - 4ac
= (-3)2 - 4 × 2 × 5
= 9 - 40
= -31
चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है |
हल : (ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
a = 3, b = - 4√3 और c = 4
D = b2 - 4ac
= (-4√3)2 - 4 × 3 × 4
= 48 - 48
= 0
चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |
हल : (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0
a = 2, b = 6 और c = 3
D = b2 - 4ac
= (6)2 - 4 × 2 × 3
= 36 - 24
= 12
चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |
Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0
हल : (i) 2x2 + kx + 3 = 0
a = 2, b = k और c = 3
चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात
हल : (ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0
=> kx2 - 2kx + 6 = 0
a = k, b = - 2k, c = 6
चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात
Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |
हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो लंबाई = 2x m
अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल
अत: चौड़ाई = 20 m और
लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है |
Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |
हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 - x वर्ष
4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल =
=> (x - 4) (20 - x - 4) = 48
=> (x - 4) (16 - x) = 48
=> 16x - x2 - 64 + 4x = 48
=> 20x - x2 - 64 - 48 = 0
=> 20x - x2 - 112 = 0
=> x2 - 20x + 112 = 0
इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |
a = 1, b = - 20 और c = 112
D = b2 - 4ac
= (-20)2 - 4(1)(112)
= 400 - 448
= - 48
चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है |
Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |
हल : माना पार्क का लंबाई = x m
और चौड़ाई = y m
तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप
2(x + y) = 80 m
x + y = 40 m
y = 40 - x m
अत: चौड़ाई = 40 - x m
अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल
x(40 - x) = 400
=> 40x - x2 = 400
=> x2 - 40x + 400 = 0
=> x2 - 20x - 20x + 400 = 0
=> x(x - 20) - 20(x - 20) = 0
=> (x - 20) (x -20) = 0
=> x - 20 = 0, x - 20 = 0
=> x = 20 और x = 20
अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 - 20 = 20 मीटर
Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.1
प्रश्नावली 5.1
Q1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?
(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15 रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |
Solution:
प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |
अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये
श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 ................................
जाँच:
a = 15
d1 = a2 - a1
= 23 - 15 = 8
d2 = a3 - a2
= 31 - 23 = 8
d3 = a4 - a3
= 39 - 31 = 8
चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |
इसलिए दिया गया सूची A. P है |
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |
Solution:
माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |
Solution:
प्रथम मीटर का लागत = 150,
दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200
तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250
श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ...........................
जाँच:
a = 150
d1 = a2 - a1
= 200 - 150 = 50
d2 = a3 - a2
= 250 - 200 = 50
d3 = a4 - a3
= 300 - 250 = 50
सार्व अंतर = 50
यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |
Solution:
पहले वर्ष की राशि = 10000
तीसरे वर्ष की राशि = 11664
श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 .....................
स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |
Q2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
Solution:
a = 10
a2 = a + d ⇒ 10 + 10 = 20
a3 = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30
a4 = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40
श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ......................
प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40
(ii) a = –2, d = 0
Solution:
a = –2
a2 = a + d ⇒ –2 + 0 = –2
a3 = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2
a4 = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2
श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ......................
प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2
(iii) a = 4, d = – 3
Solution:
a = 4
a2 = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1
a3 = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2
a4 = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5
श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ......................
प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5
(v) a = – 1.25, d = – 0.25
Solution:
a = – 1.25
a2 = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = - 1.5
a3 = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75
a4 = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2
श्रृंखला: – 1.25, - 1.5, –1.75, –2 ......................
प्रथम चार पद : – 1.25, - 1.5, –1.75 और –2
Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .
Solution:
d1 = a2 - a1
= 1 - 3 = - 2
d2 = a3 - a2
= -1 - (1) = - 2
d3 = a4 - a3
= -3 - (-1) = -3 + 1 = - 2
सार्व अंतर = - 2
चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |
इनके अगले तीन पद हैं :
a5 = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 - 8 = - 5
a6 = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 - 10 = - 7
a7 = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 - 12 = - 9
- 5, - 7, - 9
(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .
Solution:
a = – 1.2
d1 = a2 - a1
= –3.2 – (–1.2 )
= – 3.2 + 1.2 = – 2
d2 = a3 - a2
= –5.2 – (–3.2 )
= – 5.2 + 3.2 = – 2
d3 = a4 - a3
= –7.2 – (–5.2 )
= – 7.2 + 5.2 = – 2
सार्व अंतर = – 2
चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |
इनके अगले तीन पद हैं :
a5 = a + 4d = – 1.2 + 4×(- 2) = – 1.2 - 8 = – 9.2
a6 = a + 4d = – 1.2 + 5×(- 2) = – 1.2 - 10 = – 11.2
a7 = a + 4d = – 1.2 + 6×(- 2) = – 1.2 - 12 = – 13.2
⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2
(iv) – 10, – 6, – 2, 2, . . .
Solution:
a = – 10
d1 = a2 - a1
= –6 – (–10 )
= – 6 + 10 = 4
d2 = a3 - a2
= –2 – (–6 )
= – 2 + 6 = 4
d3 = a4 - a3
= 2 – (–2 )
= 2 + 2 = 4
सार्व अंतर = 4
चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |
इनके अगले तीन पद हैं :
a5 = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6
a6 = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 = 10
a7 = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14
⇒ 6, 10, 14
Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.2
प्रश्नावली 5.2
कक्षा - 10 (NCERT Solution)
Q1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है:
Solution:
(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?
an = a + (n - 1)d
a8 = 7 + (8 - 1)3
= 7 + 7 ×3 = 7 + 21
= 28
(ii) a = - 18, n = 10, an = 0, d = ?,
an = a + (n - 1)d
a10 = - 18 + (10 - 1)d
0 = -18 + 9d
9d = 18
(iii) d = -3, n = 18, an = -5, a = ?
an = a + (n - 1)d
a18 = a + (18 - 1)d
-5 = a + 17(- 3)
-5 + 51 = a
a = 46
(iv) a = - 18.9, d = 2.5, an = 3.6 n = ?
an = a + (n - 1)d
3.6 = - 18.9 + (n - 1)2.5
3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5
(n - 1)2.5 = 22.5
(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, an = ?
an = a + (n - 1)d
= 3.5 + (105 - 1)0
= 3.5 + 0
= 3.5
Q2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, ...................... का 30 वाँ पद है:
(A) 97 (B) 77 (C) –77 (D) – 87
Solution:
a = 10, d = 7 - 10 = -3
30 वाँ पद = ?
a30 = a + 29d
= 10 + 29(-3)
= 10 - 87
= - 77
Correct Answer: (C) - 77
Correct Answer: (B) 22
Q3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) a = 2, b = ?, c = 26
Solution:
Solution: (ii) a2 = 13,
∴ a + d = 13 ................ (1)
a4 = 3
∴ a + 3d = 3 .................(2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 3d - (a + d) = 3 - 13
a + 3d - a - d = -10
2d = - 10
d = -5
d का मान समीo (1) में रखने पर
a + d = 13
a + (- 5) = 13
a = 13 + 5
a = 18
a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)
= 18 - 10 = 8
अत: 18, 13, 8, 3
Q4. A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?
Solution:
a = 3, d = 8 - 3 = 5, an = 78
an = a + (n - 1) d
78 = 3 + (n - 1) 5
78 - 3 = (n - 1) 5
75 = (n - 1) 5
n - 1 = 75/5
n - 1 = 15
n = 15 + 1
n = 16
अत: 16 वाँ पद 78 है |
Q5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, ................. , 205
Solution:
a = 7, d = 13 - 7 = 6, an = 205
an = a + (n - 1) d
205 = 7 + (n - 1) 6
205 - 7 = (n - 1) 6
198 = (n - 1) 6
n - 1 = 33
n = 33 + 1
n = 34
इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |
इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |
Q6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद - 150 है ? क्यों ?
Solution:
a = 11, d = 8 - 11 = - 3 और an = - 150
an = a + (n - 1) d
- 150 = 11 + (n - 1) - 3
- 150 - 11 = (n - 1) -3
- 161 = (n - 1) - 3
n - 1 = 53. 66
n = 53.66 + 1
n = 54.66
यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है
इसलिए - 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |
Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Solution:
31वाँ पद = ?
a11 = 38
⇒a + 10d = 38 ..................... (1)
a16 = 73
⇒ a + 15d = 73 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 15d - (a + 10d ) = 73 - 38
a + 15d - a - 10d = 35
5d = 35
d = 7
समीo (1) में d का मान 7 रखने पर
a + 10d = 38
a = 10 (7) = 38
a = 38 - 70
a = - 32
अब, a31 = a + 30d
⇒ a31 = - 32 + 30(7)
⇒ a31 = - 32 + 210
⇒ a31 = 178
अत: 31 वाँ पद 178 है |
Q8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
A.P में 50 पद हैं |
अत: n = 50
a3 = 12
⇒ a + 2d = 12 ..................... (1)
और अंतिम पद 106 है।
an = 106
या a50 = 106
⇒ a + 49d = 106 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 49d - (a + 2d ) = 106 - 12
a + 49d - a - 2d = 94
47d = 94
d = 2
समीo (1) में d का मान 2 रखने पर
a + 2d = 12
a = 2(2) = 12
a = 12 - 4
a = 8
अब, a29 = a + 28d
⇒ a29 = 8 + 28(2)
⇒ a29 = 8 + 56
⇒ a29 = 64
अत: 29 वाँ पद 64 है |
Q9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य
होगा?
Solution:
a3 = 4
⇒ a + 2d = 4 ..................... (1)
और नौवा पद - 8 है।
a9 = - 8
⇒ a + 8d = - 8 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 8d - (a + 2d ) = - 8 - 4
a + 8d - a - 2d = - 12
6d = - 12
d = - 2
समीo (1) में d का मान 2 रखने पर
a + 2d = 4
a = 2(-2) = 4
a = 4 + 4
a = 8
अत: a = 8, और d = - 2
माना n वाँ पद शून्य है |
an = 0
an = a + (n - 1) d
⇒ 0 = 8 + (n - 1) -2
⇒ - 8 = (n - 1) -2
⇒ n - 1 = 4
⇒ n = 4 + 1 = 5
अत: 5 वाँ पद शून्य है |
Q10. किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Solution:
चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।
∴ a17 - a10 = 7
⇒ a + 16d - (a + 9d) = 7
⇒a + 16d - a - 9d = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
सार्व अंतर = 1
Q11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ......... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
Solution:
a = 3, d = 15 - 3 = 12
a54 = a + 53d
= 3 + 53(12)
= 3 + 636
= 639
वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा
an = a54 + 132
= 639 + 132
= 771
an = a + (n - 1) d
⇒ 771 = 3 + (n - 1) 12
⇒ 771 - 3 = (n - 1) 12
⇒ 768 = (n - 1) 12
⇒ n - 1 = 64
⇒n = 64 + 1 = 65
अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |
Q12. दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
Solution:
माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a
और दुसरे A.P का प्रथम पद = a' है |
और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है
प्रश्नानुसार,
a100 - a'100 = 100
a + 99d - (a' + 99d) = 100
a + 99d - a' - 99d = 100
a - a' = 100 ................ (1)
a1000 - a'1000 = a + 999d - (a' + 999d)
= a + 999d - a' - 999d
= a + a'
चूँकि a + a' = 100 है समीo (1) से
इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |
Q13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
Solution:
तीन अंको की संख्या 100 .................. 999 के बीच होती है |
अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:
105, 112, 119, ........................ 994
इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |
∴ a = 105, d = 7 और an = 994
an = a + (n - 1) d
⇒ 994 = 105 + (n - 1) 7
⇒ 994 - 105 = (n - 1) 7
⇒ 889 = (n - 1) 7
⇒ n - 1 = 127
⇒ n = 127 + 1 = 128
अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |
Q14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
Solution:
10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |
12, 16, 20, ........................ 248
∴ a = 12, d = 4 और an = 248
an = a + (n - 1) d
⇒ 248 = 12 + (n - 1) 4
⇒ 248 - 12 = (n - 1) 4
⇒ 236 = (n - 1) 4
⇒ n - 1 = 59
⇒ n = 59 + 1 = 60
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |
Q15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, .......... और 3, 10, 17, .................. के n वें पद बराबर होंगे?
Solution:
प्रथम A.P: 63, 65, 67, ..........
जिसमें, a = 63, d = 65 - 63 = 2
an = a + (n - 1) d
= 63 + (n - 1) 2
= 63 + 2n - 2
= 61 + 2n .................... (1)
द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ..................
जिसमें , a = 3, d = 10 - 3 = 7
an = a + (n - 1) d
= 3 + (n - 1) 7
= 3 + 7n - 7
= - 4 + 7n .................... (1)
चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से
61 + 2n = - 4 + 7n
61 + 4 = 7n - 2n
5n = 65
n = 65/5
n = 13
अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |
Q16. वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
Solution:
माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,
a3 = 16
a + 2d = 16 ..................... (1)
a7 - a5 = 12
⇒ a + 6d - (a + 4d) = 12
⇒ a + 6d - a - 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर '
a + 2d = 16
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 - 12
a = 4
a, a + d, a + 2d, a + 3d ..................
⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ...............
अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 ..............................
Q17. A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
दिया गया A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 है |
प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 - 3 = 5
परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,
और सार्व अंतर d = - 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]
a20 = a + 19d
= 253 + 19(-5)
= 253 - 95
= 158
अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |
Q18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
a4 + a8 = 24
या a + 3d + a + 7d = 24
या 2a + 10d = 24
या 2(a + 5d) = 24
या a + 5d = 12 ……………………. (1)
इसीप्रकार,
A6 + a10 = 44
या a + 5d + a + 9d = 44
या 2a + 14d = 44
या 2(a + 7d) = 44
या a + 7d = 22 ……………………. (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 - 12
या a + 7d – a - 5d = 10
या 2d = 10
या d = 5
समीकरण (1) में d = 5 रखने पर
a + 5(5) = 12
या a + 25 = 12
या a = 12 – 25
या a = - 13
अत: A.P के प्रथम 3 पद है :
-13, -13 + 5, -13 + 2(5)
-13, - 8, - 3
Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?
Solution:
दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :
A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000
a = 5000, d = 200, an = 7000
an = a + (n – 1)d
7000 = 5000 + (n – 1)200
7000 – 5000 = (n – 1)200
2000 = (n – 1)200
n - 1 = 20
n = 20 + 1
n = 21 वर्ष
अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |
1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |
Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
Solution:
इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :
A.P: 5, 6.75, 8.50, ..........................., 20.75
A = 5, d = 1.75, an = 20.75
an = a + (n – 1)d
20.75 = 5 + (n – 1)1.75
20.75 – 5 = (n – 1)1.75
15.75 = (n – 1)1.75
n - 1 = 9
n = 9 + 1
n = 10
Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.3
अध्याय 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.3
Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक
(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक
Solution:
(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक
a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12
Solution:
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक
a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,
Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:
(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)
Solution:
(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
Solution:
a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10
an = a + (n -1)d
10 = 34 + (n – 1)-2
10 – 34 = (n – 1)-2
-24 = (n – 1)-2
(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)
Solution:
a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an = –230
an = a + (n -1)d
–230 = –5 + (n – 1)–3
–230 + 5 = (n – 1) –3
–225= (n – 1)–3
Q3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है । n और Sn ज्ञात कीजिए ।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और S13 ज्ञात कीजिए ।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और S12 ज्ञात कीजिए ।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और a10 ज्ञात कीजिए ।
प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर
समीकरण (i) से
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।
हल : d = 5 और S9 = 75 दिया है
S9 = 75
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।
हल : a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है ।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।
अत: n = 6 और d = 54/5 है |
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।
=> n = 7 और n = - 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)
अत: n = 7
n = 7 का मान (i) में रखने पर
a = 6 - 2n ............... (i)
a = 6 - 2(7)
a = 6 - 14
a = - 8
अत: n = 7 और a = - 8 है |
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । a ज्ञात कीजिए ।
Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ........... के कितने पद लेने चाहिए ?
हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ...........
a = 9, d = 17 - 9 = 8, Sn = 636 और n = ?
अब, Sn = 636
Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल : दिया है : a = 5, an = 45 और Sn = 400
अब, an = 45
Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल : a1 = 17, an = 350 और d = 9
अब, an = 350
Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल : दिया है : a22 = 149 d = 7 और n = 22
a22 = a + 21 d
149 = a + 21×7
149 = a + 147
a = 149 - 147
a = 2
Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल : दिया है :
a2 = 14
=> a + d = 14 ............ (i)
a3 = 18
d = a3 - a2
= 18 - 14
= 4
d का मान समीकरण (i) में रखने पर
Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Q10. दर्शाइए कि a1, a2, . . ., an, . . . से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1 ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है
Sn = 4n – n2 ............ (i)
n की जगह n - 1 रखने पर
Sn-1 = 4(n -1) – (n - 1)2
= 4n - 4 – (n2 - 2n + 1)
= 4n - 4 – n2 + 2n - 1
= – n2 + 6n - 5 ............... (ii)
अत: n वाँ पद (an) = Sn - Sn-1
=> (an) = Sn - Sn-1
=> (an) = 4n – n2 - (– n2 + 6n - 5)
=> (an) = 4n – n2 + n2 - 6n + 5
=> (an) = - 2n + 5
अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 - 1 = 3
प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 - 4 = 4
(an) = - 2n + 5
दूसरा पद (a2) = - 2(2) + 5 = - 4 + 5 = 1
तीसरा पद (a3) = - 2(3) + 5 = - 6 + 5 = -1
10 वाँ पद (a10) = - 2(10) + 5 = - 20 + 5 = -15
Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रु, दूसरे दिन के लिए 250 रु, तीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?
Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल :
कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।
अत: 1, 2, 3, 4, ...................... 12
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।
अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।
इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ......................... 3(12)
या 3, 6, 9, 12, ....................... 36
a = 3, d = 3 और n = 12
कुल पेड़ों की संख्या = S12
Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm .... वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ?
हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l1, l2, l3, l4 क्रमश: इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।
Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
Q20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.4
प्रश्नावली5.4
Q1. .A.P : 121,117,113,...., का कौन -सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
[संकेत : an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए | ]
Q2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए |
Q3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7) |
डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी 2,1/2 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ?
[संकेत : डंडों की संख्या = 250/ 25 हैं |]
Q4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है | दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है | x का मान ज्ञात कीजिए |
[ संकेत : Sx - 1 = S49 - Sx है | ]
Q5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं | इन सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक सीढ़ी में 1/4 m की चौड़ाई है और 1/2 m का फैलाव (चौड़ाई) है | (देखिए आकृति 5.8 )| इस
चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए |
[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 1/4 x 1/2 x 50m3 है |]
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.1
प्रश्नावली 6.1
Q1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त .......................... होते है | (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग........................ होते हैं| (समरूप, सर्वांगसम)
(iv) सभी ........................ त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)
(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण ...................... हो तथा
(ii) उनकी संगत ......................... भुजाएँ हों | (बराबर, समानुपाती)
हल:
(i) सभी वृत्त समरूप होते है |
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं|
(iv) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते है |
(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण बराबर हो तथा
(ii) उनकी संगत समानुपाती भुजाएँ हों |
Q2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न -भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ
हल: (i) दो वृत्त और (ii) दो वर्ग
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं |
हल: (i) वृत्त और वर्ग तथा (ii) त्रिभुज और चतुर्भुज
Q3. बताइए की निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप है या नहीं :
हल: नहीं |
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.2
प्रश्नावली 6.2
Q1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC में AD ज्ञात कीजिए :
हल: (i)
Δ ABC में
DE || BC दिया है |
अत: आधारभूतिक समानुपातिक प्रमेय से
Q2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं | निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF|| QR है |
(i) PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm
इसलिए, EF|| QR नहीं है |
Q7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य -बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्धिभाजित करती है | (याद कीजिए की आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं|)
Q8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए की एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है | (याद कीजिए की आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं ) |
Proved
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.3 Exercise 6.3
प्रश्नावली 6.3
Q1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन - कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए |
हल : (i)
ΔABC तथा ΔPQR में
∠ABC = ∠PQR = 80°
∠BAC = ∠QPR = 60°
∠ACB = ∠PRQ = 40°
∴ AAA समरूपता कसौटी से
ΔABC ~ ΔPQR
हल : (ii)
हल : (iii)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (iv)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (v)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (vi)
Q2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125o और ∠CDO = 70o है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |
हल : ∠DOC + ∠BOC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠DOC +125o = 180°
⇒ ∠DOC = 180° -125o
⇒ ∠DOC = 55o
अब ΔDOC में,
∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
⇒ 55o + 70o + ∠DCO = 180°
⇒ 125o ∠DCO = 180°
⇒ ∠DCO = 180° - 125o
⇒ ∠DCO = 55o
ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
∴ ∠OAB = ∠DCO = 55o
समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)
Q3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,
Q5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है |
हल:
दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर
क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं
कि ∠P = ∠RTS है |
सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS
प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,
∠P = ∠RTS (दिया है )
∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
ΔRPQ ~ ΔRTS
Q6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है |
Q7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC
हल:
दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC
प्रमाण :
(i) Δ AEP तथा Δ CDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD तथा CBE में
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP तथा Δ ADB में
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90°)
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ PDC ~ Δ BEC
Q8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है |
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB
प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |
∠AEB = ∠CBE .... (1) एकान्तर कोण
Δ ABE तथा Δ CFB में,
∠AEB = ∠CBE समी० (1) से
∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABE ~ Δ CFB
Q9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :
(i) Δ ABC ~ Δ AMP
हल:
दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |
सिद्ध करना है :
(i) Δ ABC ~ Δ AMP
प्रमाण :
(i) Δ ABC तथा Δ AMP में
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABC ~ Δ AMP
(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)
Q10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :
(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF
हल:
दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है |
(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)
(i) Δ ABC तथा Δ AMP में
(ii) Δ DCB तथा Δ HGE में,
∠B = ∠E समी० (2) से
∠BCD = ∠EGH [चूँकि ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]
A.A समरूपता कसौटी से
Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
∠A = ∠F समी० (1) से
∠ACD = ∠FGH [चूँकि ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]
A.A समरूपता कसौटी से
Δ DCA ~ Δ HGF Proved
Q11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है | यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |
हल:
दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है
सिद्ध करना है :
ΔABD ~ ΔECF
प्रमाण :
ΔABC में,
AB = AC दिया है;
∴ ∠B = ∠C ......... (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ....)
अब, ΔABD तथा ΔECF में
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠C समी० (1) से
A.A समरूपता कसौटी से
ΔABD ~ ΔECF Proved
Q12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |
हल:
दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |
सिद्ध करना है :
ΔABC ~ ΔPQR
(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)
Q13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है | दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है |
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |
सिद्ध करना है : CA2 = CB.CD
प्रमाण :
अब, ΔADC तथा ΔBAC में
∠ADC = ∠BAC ( दिया है )
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
ΔADC ~ ΔBAC
(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)
या CA2 = CB.CD (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)
Proved
Q14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |
हल :
यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है |
Q15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.4
प्रश्नावली 6.4
Q1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm2 और 121 cm2 हैं | यदि EF = 15.4 cm2 हो, तो BC ज्ञात कीजिए |
Q2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC हैं,
के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | और AB = 2 CD है |
AB = 2 CD ( दिया है )
Q3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं | यदि AD,BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC) /ar(DBC) AO/DO है |
हल:
Q4.यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वान्गसम होते हैं|
Q5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB,BC और CA के मध्य - बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं | त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|
Q6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है |
Q7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |
Q8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC का मध्य - बिन्दु है | त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2:1
(B) 1:2
(C) 4:1
(D) 1:4
Q9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं | इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81:16
(D) 16: 81
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.5
प्रश्नावली 6.5
Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल :
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
252 = 72 + 242
625 = 49 + 576
625 = 625
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
82 = 32 + 62
64 = 9 + 36
64 = 45
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
1002 = 502 + 802
10000 = 2500 + 6400
10000 = 8900
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
132 = 52 + 122
169 = 25 + 144
169 = 169
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |
हल:
दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है
जिसका कोण P समकोण है तथा QR
पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है |
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |
इसलिए प्रमेय 6.7 से
ΔPMQ ~ ΔPRQ ...... (1)
इसीप्रकार,
ΔPMR ~ ΔPRQ ...... (1)
समीकरण (1) तथा (2) से
ΔPMQ ~ ΔPMR
Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
हल :
दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |
सिद्ध करना है :
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और
AC ⊥ BD दिया है |
ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7
Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसका कोण C समकोण है |
सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2
प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AC = BC .......... (i)
और ABC एक समकोण त्रिभुज है |
पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = BC2 + AC2
अथवा AB2 = AC2 + AC2 (समी० 1 से)
अथवा AB2 = 2AC2 Proved
Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसमें AC = BC है और AB2 = 2AC2 है
सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |
प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है
और AB2 = 2AC2 ......... (दिया है)
अथवा AB2 = AC2 + AC2
अथवा AB2 = BC2 + AC2 ( समी० 1 से )
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से
ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved
Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |
AB = BC = AC = 2a
रचना : AD ⊥ BC डाला |
अत: समकोण त्रिभुज ACD में
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AD2 + DC2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 = AD2 + a2
AD2 = 4a2 - a2
AD2 = 3a2
Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी
भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण
AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2
प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,
समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB2 = AO2 + BO2 …………… (1)
इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,
BC2 = CO2 + BO2 …………… (2)
CD2 = CO2 + DO2 …………… (3)
AD2 = AO2 + DO2 …………… (4)
समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर
AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2
RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2
= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2)
Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
दर्शाइए कि
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
हल:
दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
सिद्ध करना है :
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
प्रमाण:
समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से
OA2 = AF2 + OF2 ......................... (I)
समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से
OB2 = BD2 + OD2 ......................... (II)
समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से
OC2 = CE2 + OE2 ......................... (III)
समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर
OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD2 + CE2 + OE2
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 Proved I
अब, पुन:
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
या AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
या AF2 + BD2 + CE2 = (OA2 – OE2 ) + (OB2 – OF2 ) + (OC2 – OD2)
या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 पाइथागोरस प्रमेय से
Q9.
Q10.
Q11.
Q12.
Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |
सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |
Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |
सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है |
Q16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |
Chapter 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.6
प्रश्नावली 6.6
Q1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजक है | सिद्ध कीजिए कि QS/SR PQ/PR है|
Q2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM |BC और DN | AB है | सिद्ध कीजिए कि
(i) DM2 = DN.MC
(ii) DN2 = DM.AN
Q3. आकृति 6.58 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC >90o हा तथा AD| CB है | सिद्ध कीजिए की AC2 = AB2 + BC2 + 2BC.BD है |
Q4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC <90o है तथा AD| BC है | सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 - 2 BC.BD है |
Q5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM|BC है | सिद्ध कीजिए की
(i) AC2 = AD2 + BC. DM + (BC/2)2
(ii) AB2 = AD2 - BC.DM + (BC/2 )2
(iii) AC2 + AB2 = 2AD2 + 1/ 2 BC2
Q6.सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकार्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है |
Q7. आकृति 6.61 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु प पर प्रतिच्छेद करती हैं| सिद्ध कीजिए कि
(i) त्रिभुज APC ~ त्रिभुज DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
Q8. आकृति 6.62 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं | सिद्ध कीजिए कि
(i) त्रिभुज PAC ~ त्रिभुज PDB
(ii) PA. PB = PC.PD
Q9. आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD/CD AB/AC है | सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |
Q10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है | उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64) ? यदि वह डोरी को 5 cm /s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी ?
Chapter 7. निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.1
प्रश्नावली 7.1
Q1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2,3),(4,1)
(ii) (-5,7), (-1,3)
(iii) (a,b), (-a,-b)
Q2. बिन्दुओं (0,0) और (36,15) के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए | क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?
Q3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1,5), (2,3) और (-2,-11) सरेंखी हैं|
Q4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5,-2), (6,4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |
Q5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A,B,C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?' चमेली इससे सहमत नहीं है ?' दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है |
Q6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)
(ii) (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल :
(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)
माना बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0) हैं |
इसी प्रकार,
बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0)बनने वाला चर्तुभुज वर्ग हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर है अर्थात AB = BC = CD = AD हैं |
हल : (ii)(–3, 5), (3, 1), (–1, – 4)
माना बिन्दुएँ A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) हैं |
इसी प्रकार दुरी सूत्र से,
बिन्दु A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) से बनने वाला चर्तुभुज एक विषमबाहु चर्तुभुज हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर नहीं है और किसी भी चर्तुभुज के गुण के सामान नहीं है,
हल : (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3),
माना बिन्दुएँ A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)हैं |
इसी प्रकार,
बिन्दु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)से बनने वाला चर्तुभुज आयात तथा समांतर चर्तुभुज हैं |क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की दो भुजाओं के युग्म बराबर है,
Q7. x- अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ हैं|
हल : माना A(2, –5), B(–2, 9), तथा X-अक्ष पर बिंदु P(x, 0), हैं |
अत: AP2 = BP2 (चूँकि A तथा B बिंदु P से समदूरस्थ है)
अत: X-अक्ष पर बिंदु P (-7, 0) है |
Q8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2,-3) और Q(10,y ) के बीच की दुरी 10 मात्रक है |
हल : बिंदु P(2, – 3)और Q(10, y) हैं तथा दोनों बिन्दुओं का मात्रक 10 हैं |
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
102 = (10 - 2)2 + (y + 3)2
100 = 82 + y2 + 6y + 9
100 = 64 + y2 + 6y + 9
100 = 73 + y2 + 6y
100 - 73 = y2 + 6y
y2 + 6y = 27
y2 + 6y - 27 = 0
y2 + 9y - 3y - 27 = 0
y(y + 9) - 3(y + 9) = 0
(y + 9) (y - 3) = 0
y + 9 = 0 तथा y - 3 = 0
अत: y = -9 तथा y = 3
अतः y का एक मान 3 तथा -9 हैं |
Q9. यदि Q(0,1) बिन्दुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए | दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए |
हल : बिन्दु Q(0, 1), P(5, –3) और R(x, 6)से समदूरस्थ हैं |
Q10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो |
हल : माना बिदुएँ P(x, y) तथा A(3, 6) और B(-3, 4)
AP तथा BP समदूरस्थ हैं |
इसलिए, AP = BP
दोनों तरफ वर्ग करने पर
AP2 = BP2
(x - 3)2 + (y - 6)2 = (x + 3)2 + (y - 4)2
x2 - 6x + 9 + y2 - 12y + 36 = x2 + 6x + 9 + y2 - 8y + 16
-6x - 12y + 36 = 6x - 8y + 16
36 - 16 = 6x + 6x - 8y + 12y
20 = 12x + 4y
12x + 4y = 20
4(3x + y) = 20
3x + y =
3x + y = 5
3x + y - 5 = 0
Chapter 7. निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.2
प्रश्नावली 7.2
Q1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है |
हल :
Q2. बिन्दुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
हल :
बिंदु Q के लिए m1 = 2 और m2 = 1 चूँकि समत्रिभाजित करती हैं |
विभाजन सूत्र से बिंदु Q(x, y) के निर्देशांक,
Q3. आपके स्कूल में खेल -कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है | निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?
हल:
Q4. बिन्दुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है|
हल: माना बिंदु P(-1, 6) बिंदु A(-3,10) और B(6, -8) को k : 1 में विभाजित करता है |
अत: विभाजन सूत्र से,
Q5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए |
हल: माना x अक्ष पर उस बिंदु P के निर्देशांक (x, 0) है |
तथा A(1,-5) और B(-4,5) को बिंदु P(x, 0) k : 1 में विभाजित करता है |
अत: विभाजन सूत्र से,
बिदु P में y = 0 है इसलिए
Q6. यदि बिन्दु (1,2),(4,y),(x,6) और (3,5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है इसलिए इसके विकर्ण एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |
इसलिए बिंदु O AC तथा BD के मध्य-बिंदु है |
अत: माध्य-बिंदु सूत्र से
बिंदु O के निर्देशांक - AC और BD के लिए बराबर होगा चूँकि दोनों विकर्ण का एक ही मध्य-बिंदु है |
Q7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं|
हल:
माना बिंदु A के निर्देशांक है (x1, y1)
AB वृत्त का व्यास है और O वृत्त का केंद्र है |
चूँकि O AB का मध्य-बिंदु है |
इसलिए मध्य-बिंदु सूत्र से
Q8. यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो |
Q9.बिन्दुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
हल:
बिंदु A(-2, 2) और B(2, 8) को बिंदु Q(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |
इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -
बिंदु A(-2, 2) और Q(0, 5) को बिंदु P(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |
इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -
बिंदु B(2, 8) और Q(0, 5) को बिंदु R(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |
इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -
अत: AB को चार बराबर भागों में बाँटने वाले बिंदु का निर्देशांक
Q10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0), (4,5), (-1,4) और (-2,-1) हैं)
हल:
Chapter 7. निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.3
प्रश्नावली 7.3
Q1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4) (ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
हल: (i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4)
त्रिभुज के तीन शीर्ष A(2, 3), B(–1, 0) और C(2, – 4) है |
हल: (ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
त्रिभुज के तीन शीर्ष A(–5, –1), B(3, –5) और C(5, 2) है |
Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में 'k' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों :
(i) (7, –2), (5, 1), (3, k) (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, –5)
हल: (i) (7, –2), (5, 1), (3, k)
माना संरेखी त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: A(7, –2), B(5, 1) और C(3, k) है |
संरेखी त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है |
इसलिए, ΔABC का क्षेत्रफल = 0 वर्ग इकाई
हल: (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, –5)
माना संरेखी त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: A(8, 1), B(k, – 4) और C(2, – 5) है |
संरेखी त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है |
इसलिए, ΔABC का क्षेत्रफल = 0 वर्ग इकाई
Q3. शीर्षों (0, –1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: D बिंदु AB का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से D का निर्देशांक –
इसीप्रकार,
E बिंदु BC का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से E का निर्देशांक –
F बिंदु AC का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से F का निर्देशांक –
D(1, 0), E(1, 2), F(0, 1)
Q4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (– 4, – 2), (– 3, – 5),
(3, – 2) और (2, 3) हैं।
हल:
ABCD के शीर्ष A(– 4, – 2), B(– 3, – 5), C(3, – 2) और D(2, 3) हैं |
ABCD का क्षेत्रफल = ar(DABC) + ar(DACD)
= 10.5 + 17.5 वर्ग इकाई
= 28 वर्ग इकाई
Q5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे
बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम
का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, – 6), B(3, –2) और C(5, 2) हैं।
हल: A(4, – 6), B(3, –2) और C(5, 2) के शीर्ष है |
सिद्ध करना है : ar(DABD) = ar(DACD)
बिंदु D BC का मध्य-बिंदु है |
अत: मध्य-बिंदु सूत्र से बिंदु D केर निर्देशांक –
अत: किसी त्रिभुज की मध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटती है |
प्रश्नावली 7.4
Q1. बिन्दुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |
Q2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x,y), (1,2) और (7,0) सरेंखी हैं|
Q3.बिन्दुओं (6,-6),(3,7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |
Q4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |
Q5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज PQR के निर्देशांक क्या होंगे | साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | आप क्या देखते हैं ?
Q6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की AD/AB AE/AC 1/4 है | त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से कीजिए |
Q7. मान लीजिए A (4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2:1 हो |
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो |
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है |]
(v) यदि A(x1 y1 )2 B(X2 y2 ) और C(x3 y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
Q8. बिन्दुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिन्दु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए |
Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.1
प्रश्नावली 8.1 (गणित)
Q1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है | निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
Solution:
समकोण त्रिभुज ΔABC में,
AB = 24 cm, BC = 7 cm
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AB2 + BC2
= 242 + 72
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25 cm
अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर
(i) sin A, cos A
Q2. आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए |
Solution:
PQ = 12 cm, PR = 13 cm
QR = ?
समकोण त्रिभुज ΔPQR में,
PQ = 12 cm, PR = 13 cmपाइथागोरस प्रमेय से,
PR2 = PQ2 + QR2
132 = 122 + QR2
169 = 144 + QR2
169 - 144 = QR2
QR2 = 25
QR = √25 = 5 cm
अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर
Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.2
प्रश्नावली 8.2
Q1. निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
हल: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
सभी त्रिकोंणमितीय अनुपातों का मान रखने पर
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
हल: 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
Q2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
हल: sin 2A = 2 sin A
⇒ 2 sin A cos A = 2 sin A [ sin 2x = 2 sin x cos x]
⇒ cos A = 2 sin A - 2 sin A
⇒ cos A = 0
∴ A = 0o
विकल्प (A) सत्य है |
A का मान समीकरण (iii) में रखने पर
A + B = 60°
⇒ 45° + B = 60°
⇒ B = 60° - 45°
⇒ B = 15°
A = 45°, B = 15°
Q4. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं | कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए |
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है |
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है |
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है |
उत्तर:
(i) दिया गया कथन असत्य है |
(ii) दिया गया कथन सत्य है |
(iii) दिया गया कथन असत्य है |
(iv) दिया गया कथन असत्य है |
(v) दिया गया कथन सत्य है |
Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.3
अध्याय 8. त्रिकोणमितिय अनुपातों का परिचय
प्रश्नावली 8.3
Q1. निम्नलिखित का मान निकालिए:
(iii) cos 48° - sin 42°
हल: cos 48° - sin 42°
⇒ sin(90° - 48°) - sin 42°
⇒ sin 42° - sin 42° = 0
(iv) cosec 31° - sec 59°
हल: cosec 31° - sec 59°
⇒ sec (90° - 31°) - sec 59° [ cosec q = sec (90° - q) ]
⇒ sec 59° - sec 59° = 0
Q2. दिखाइए कि
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
हल: (i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
LHS = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= cot (90° - 48°) tan (90° - 23°) tan 42° tan 67°
= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°
= (cot 42° × tan 42°) (cot 67° × tan 67°)
= 1 × 1 [ cot A × tan A = 1 ]
= 1
LHS = RHS
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल: (ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
LHS = cos 38° cos 52° sin 38° sin 52°
= sin (90° - 38°) cos 52° – cos (90° - 38°) sin 52°
= sin 52° cos 52° - cos 52° sin 52°
= sin 52° (cos 52° - cos 52°)
= sin 52° × 0
= 0
LHS = RHS
Q3. यदि tan 2A = cot(A - 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |
हल: tan 2A = cot(A - 18°),
⇒ cot (90° - 2A) = cot(A - 18°)
दोनों पक्षों में तुलना करने पर
⇒ 90° - 2A = A - 18°
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
Q4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल: tan A = cot B दिया है |
⇒ tan A = tan (90° - B) तुलना करने पर
⇒ A = 90° - B
⇒ A + B = 90° Proved
Q5. यदि sec 4A = cosec(A - 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |
हल: sec 4A = cosec(A - 20°)
⇒ cosec (90° - 4A) = cosec(A - 20°) [ sec q = (90°- q) ]
तुलना करने पर
⇒ 90° - 4A = A - 20°
⇒ 90° + 20° = A + 4A
⇒ 5A = 110°
Q7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए |
हल : sin 67° + cos 75°
⇒ cos (90° - 67°) + sin (90° - 75°)
⇒ cos 23° + sin 15°
Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.4
अध्याय 8. त्रिकोणमिति का परिचय
NCERT SOLUTION
अभ्यास 8.4
Q4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A बराबर है:
(A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
Correct Answer: (B) 9
Solution:
9 sec2 A – 9 tan2 A = 9(sec2 A – tan2 A)
= 9 × 1 = 9
(ii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर हैं :
(A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cosA
Correct Answer: (D) cosA
Q5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :
अत: LHS = RHS proved
Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.5
Chapter 9. त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग
प्रश्नावली 9.1
अध्याय 9. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग
Q1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंध हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|
Solution:
माना खंभे की ऊँचाई = h मीटर
डोरी की लंबाई = 20 मीटर
θ = 30०
समकोण त्रिभुज ABC में;
Q2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30० का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना पेड़ की ऊँचाई BC’ है और पेड़ बिंदु A से टूटकर
जमीन पर बिंदु C पर झुकी है |
θ = 30°, BC = 8 m
समकोण त्रिभुज ABC में, AB भुजा के लिए,
Q3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
Solution:
Q4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना मीनार AB की ऊँचाई = h मीटर
बिंदु C से मीनार के पाद बिंदु B की दुरी = 30 m
समकोण ΔABC में,
Q5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध् दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
Q6. 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
Solution:
माना कि वह लड़का x m दूर भवन की ओर गया |
लडके ऊंचाई छोड़कर भवन की ऊंचाई (AB) = 30 m - 1.5 m
= 28.5 m
समकोण त्रिभुज ABC में,
Q7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना संचार मीनार की ऊंचाई (AD) = h m
भवन की ऊंचाई (DC) = 20 m
माना भूमि पर वह बिंदु B है |
भवन सहित मीनार की ऊंचाई (AC) = (20 + h) m
समकोण त्रिभुज BCD में,
Q8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी ¯बदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना पेडस्टल की ऊंचाई h मीटर है |
मूर्ति की ऊंचाई = 1.6 m
समकोण त्रिभुज BCD में,
Q9. एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30o है और भवन के
पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की
ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना भवन की ऊंचाई = h m
समकोण त्रिभुज ABC में,
Q10. एक 80 m चैड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना भूमि पर वह बिंदु B है |
और खंभों की ऊंचाई = h मीo,
B बिंदु से एक खंभे की दुरी = x m
तो दुसरे खंभे की दुरी = (80 - x) m
समकोण त्रिभुज ABC में,
Q11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर उर्ध्वार्धर खड़ा है टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । टॉवर की ऊँचाई और नहर की चैड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना टॉवर (AB) की ऊंचाई = h मीo
नहर BC की चौड़ाई = x मीo
समकोण त्रिभुज ABC में,
Q12. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45o है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना टॉवर की ऊँचाई = h मीटर
भवन DE की ऊंचाई = 7 मीo
DE = BC = 7 मीo
AB की लंबाई = h - 7 मीo
समकोण त्रिभुज EDC में,
Q13. समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना दो जहाजों A तथा B है
जिनका अवनमन कोण क्रमश: 45° और 30° है |
लाइट-हाउस DC की ऊंचाई = 75 m
चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है |
∴ ∠DAC = 45o और ∠DBC = 30o
Q14. 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है | इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी ज्ञात कीजिए |
Solution:
लड़की की ऊंचाई = 1.2 m
भूमि से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 m
लड़की को छोड़कर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 - 1.2
AB = DE = 87.0 m
तय दुरी = BE
समकोण DABC में,
अर्थात इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी 87√3 m है |
Q15. एक सीध राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
Solution:
माना कार को बिंदु C से मीनार के पाद B तक पहुँचने में x सेकेण्ड लगता है |
Q16. मीनार के आधर से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो ¯बदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
Solution:
माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है |
समकोण त्रिभुज ABC में,
Chapter 10. वृत्त
प्रश्नावली10.1
प्रश्नावली 10.1
Q1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर : अनेक |
Q2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ........................... बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है |
(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ................ कहते हैं |
(iii) एक वृत्त की ................ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं |
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ट बिन्दु को ......... कहते हैं |
उत्तर:
(i) एक
(ii) जीवा
(iii) दो
(iv) स्पर्श बिंदु
Q3. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है की OQ = 12 सेमी | PQ की लंबाई है :
√(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी
उत्तर : (D)
PQ2 = OQ2 - PO2
= 122 - 52
= 144 - 25
= 119
PQ = √119 सेमी
Q4. एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए की उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो |
उत्तर :
Chapter 10. वृत्त
प्रश्नावली10.2
प्रश्नावली 10.2
प्रश्न सं. 1,2, 3 में सही विकल्प चुनिए एंव उचित कारण दीजिए |
Q1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है | वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
उत्तर :
त्रिज्या (OP) = ?
OQ = 24 cm, PQ = 25 cm
चूँकि OP ⊥ PQ है, पैथागोरस प्रमेय से -
PQ2 = OP2 + OQ2
252 = OP2 + 242
OP2 = 625 - 576
OP2 = 49
OP = √49 = 7 cm
Q2. आकृति 10.11 में, यदि TP केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार है की ∠POQ = 110o , तो ∠PTQ बराबर है :
(A) 60o
(B) 70o
(C) 80o
(D) 90o
उत्तर : (B) 70o
हल : ∠POQ + ∠PTQ = 180०
=> 110० + ∠PTQ = 180०
=> ∠PTQ = 180० - 110०
=> 70०
Q3. यदि एक बिन्दु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80o के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
(A) 50o
(B) 60o
(C) 70o
(D) 80o
उत्तर : (A) 50o
दिया है : ∠APB = 80०
इसलिए, ∠APO = 80०/2 = 40०
स्पर्श बिंदु पर ∠A = 90०
त्रिभुज AOP में,
=> ∠A + ∠APO + ∠POA = 180०
=> 90० + 40० + ∠POA = 180०
=> ∠POA = 180० - 130०
=> ∠POA = 50०
Q4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती है |
हल :
दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ AB तथा CD हैं जो वृत्त को X तथा Y पर क्रमश: स्पर्श करती है |
सिद्ध करना है : AB || CD
प्रमाण :
OX ⊥ AB (स्पर्श बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श बिंदु पर लंब होती है )
अत: ∠BXO = 90० ........ (i)
इसीप्रकार, OY ⊥ CD
अत: ∠DYO = 90० ........ (i)
समीकरण (i) तथा (ii) जोड़ने पर
∠BXO + ∠DYO = 90० + 90०
=> ∠BXO + ∠DYO = 180०
चूँकि एक ही ओर से अंत:आसन्न कोण संपूरक हैं, इसलिए
AB || CD Proved
Q5. सिद्ध कीजिए की स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है|
Q6.एक बिन्दु A से जो एक वृत्त के केंद्र से 5cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4cm है | वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |
हल : बिंदु A से केंद्र की दुरी (OA) = 5 cm
स्पर्श रेखा AB की लंबाई = 4 cm
वृत्त की त्रिज्या OB = ?
समकोण त्रिभुज AOB में, पैथागोरस प्रमेय से
OA2 = OB2 + AB2
52 = OB2 + 42
52 - 42 = OB2
25 - 16 = OB2
OB2 = 9
OB = = 3 cm
Q7. दो सकेंद्रिय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm है | बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो |
हल :
दो संकेंद्री वृत्त जिसका केंद्र O है और बड़े वृत्त की
जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है |
त्रिज्याएँ क्रमश: AO = 5 cm और OM = 3 cm है |
OM ⊥ AB है | (चूँकि जीवा को केंद्र से मिलाने वाली रेखाखण्ड जीवा पर लंब होती है |)
अत: समकोण त्रिभुज AOM में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OM2 + AM2
52 = 32 + AM2
52 - 32 = AM2
25 - 9 = AM2
AM2 = 16
AM = = 4 cm
अत: AB = 2 × AM
= 2 × 4 = 8 cm
जीवा की लंबाई 8 cm है |
Q8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति 10.12 ) | सिद्ध कीजिए : AB + CD = AD + BC.
हल :
दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं |
सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC
प्रमाण : P और S स्पर्श बिंदु हैं |
अत: AP = AS ............... (i) प्रमेय 10.2 से
(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)
इसीप्रकार,
BP = BQ ............... (ii)
CR = CQ ............... (iii)
और DR = DS ............... (iv)
समी० (i), (ii), (iii) और (iv) जोड़ने पर
AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ
AB + CD = AD + BC Proved
Q9. आकृति 10.13 में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए की ∠AOB = 90o है |
हल :
दिया है : XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है : ∠AOB = 90o
प्रमाण :
DAOP और DAOC में
PA = CA (भुजा) प्रमेय 10.2 से
∠APO = ∠ACO 90० प्रत्येक
AO = AO उभयनिष्ठ कर्ण
RHS सर्वांगसमता नियम से
DAOP @ DAOC
इसलिए, ∠PAO = ∠CAO (i) BY CPCT
इसीप्रकार DBOQ @ DBOC
इसलिए, ∠QBO = ∠CBO (ii) BY CPCT
अब XY || X'Y' दिया है |
इसलिए, ∠PAC + ∠QBC = 180० (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
या (∠PAO + ∠CAO) + (∠QBO + ∠CBO) = 180०
या (∠CAO + ∠CAO) + (∠CBO + ∠CBO) = 180० (समी० (i) तथा (ii) के प्रयोग से )
या 2 ∠CAO + 2 ∠CBO = 180०
या 2 (∠CAO + ∠CBO) = 180०
या ∠CAO + ∠CBO = 90० .............. (iii)
अब त्रिभुज AOB में,
∠AOB + ∠CAO + ∠CBO = 180०
∠AOB + 90० = 180०
∠AOB = 180० - 90०
∠AOB = 90० Proved
Q10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है |
हल :
दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की की बाह्य बिंदु P से खिंची गई स्पर्श रेखाओं AP तथा BP है |
सिद्ध करना है : ∠AOB + ∠APB = 180०
प्रमाण :
OA ⊥ AP और OB ⊥ BP (चूँकि स्पर्श रेखा से केंद्र को मिलाने वाली रेखाखंड लंब होती है |)
अत: ∠OAP = 90० ........... (i)
और ∠OBP = 90० ........... (ii)
चूँकि APBO एक चतुर्भुज है इसलिए,
∠OAP + ∠AOB + ∠OBP + ∠APB = 360०
=> 90० + ∠AOB + 90० + ∠APB = 360०
=> 180० + ∠AOB + ∠APB = 360०
=> ∠AOB + ∠APB = 360० - 180०
=> ∠AOB + ∠APB = 180० Proved
Q11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है |
हल :
दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं |
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है |
प्रमाण : चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए
AB = CD ............ (i) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
इसीप्रकार, BC = AD ......... (ii)
अब, P और S स्पर्श बिंदु हैं |
अत: AP = AS ............... (iii) प्रमेय 10.2 से
(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)
इसीप्रकार,
BP = BQ ............... (iv)
CR = CQ ............... (v)
और DR = DS ............... (vi)
समी० (iii), (iv), (v) और (vi) जोड़ने पर
AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ
या AB + CD = AD + BC
या AB + AB = AD + AD समी० (i) तथा (ii) से
या 2 AB = 2 AD
या AB = AD ......... (vii)
समीकरण (i), (ii) और (vii) से
AB = BC = CD = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | Proved
Q12. 4cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है की रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है ) की लंबाई क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं ( देखिए आकृति 10.14) | भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए |
हल : माना AF = AE = x cm (प्रमेय 10.2 से)
इसी प्रकार CD = CE = 6 cm
और BD = BF = 8 cm
अत: AB = 8 + x cm, BC = 8 + 6 = 14 cm और AC = 6 + x cm
OD = OF = OE = 4 cm (त्रिज्या)
अब त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन सूत्र से
a = 8 + x cm, b = 14 cm और c = 6 + x cm
समीकरण (i) और (ii) से चूँकि दोनों त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल हैं |
=> 48x(14 + x) = [2(28 + 2x)]2
=> 48x(14 + x) = [4(14 + x)]2
=> 48x(14 + x) = [4 × 4 (14 + x)(14 + x)
=> 48x = 16 (14 + x) सरल करने पर
=> 3x = (14 + x) सरल करने पर
=> 3x - x = 14
=> 2x = 14
=> x = 7
अत: भुजाएँ AB = 8 + 7 = 15 cm और AC = 6 + 7 = 13 cm
Q13. सिद्ध कीजिए की वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने - सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं |
हल :
दिया है : ABCD O केंद्र वाले एक वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज है |
Chapter 10. वृत्त
प्रश्नावली 10.3
Chapter 11. रचनाएँ
प्रश्नावली 11.1
प्रश्नावली 11.1
निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :
Q1. 7.6 cm लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 5: 8 अनुपात में विभाजित कीजिए | दोनों को मापिए |
Q2. 4cm, 5cm और 6cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों |
Q3. 5 cm, 6cm और 7cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हो|
Q4. आधार 8cm तथा ऊँचाई 4cm के एक समद्धिबाहू त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्धिबाहू त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1,1/2 गुनी हों|
Q5. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और angle = 60o हो | फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 3/4 गुनी हों|
Q6. एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें BC = 7 cm, angle B = 45o , angle A = 105o हो| फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी हों |
Q7. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 cm तथा 3 cm लंबाई की हों | फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हों |
Chapter 11. रचनाएँ
प्रश्नावली 11.2
प्रश्नावली 11.2
निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :
Q1. 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए | केंद्र से 10 cm दूरी स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए |
Q2. 4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक सकेंद्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए | परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए |
Q3. 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए | इसके किसी भी बढाए गए व्यास पर केंद्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए | इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए |
Q4. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो पार्ष रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60o के कोण पर झुकी हों |
Q5. 8 cm लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए | A को केंद्र मान कर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केंद्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए | प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए |
Q6. माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 cm, BC cm तथा angle =B = 90o है | B से AC पर BD लंब है | बिन्दुओं B,C,D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है | A से इस वृत्त प[पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए |
Q7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए | वृत्त के बाहर एक बिन्दुओं लीजिए | इस बबिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए |
Chapter 11. रचनाएँ
प्रश्नावली 11.3
Chapter 12. वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 12.1
प्रश्नावली 12.1
Q1. दो वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं | उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है |
हल : पहले वृत्त की त्रिज्या R = 19 cm
दुसरे वृत्त की त्रिज्या r = 9 cm
नए वृत्त का परिमाप = पहले वृत्त का परिमाप + दुसरे वृत्त का परिमाप
नए वृत्त का परिमाप = 2πR1 + 2πr2
= 2π(R + r)
= 2π(19 + 9)
= 2 x 22/7 x 28
= 2 x 22 x 4
= 176 cm
Q2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं | उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है |
हल : पहले वृत्त की त्रिज्या R = 8 cm
दुसरे वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm
नए वृत्त का परिमाप = पहले वृत्त का परिमाप + दुसरे वृत्त का परिमाप
नए वृत्त का परिमाप = πR2 + πr2
= π(R2 + r2)
= 2π(19 + 9)
= 2 x 22/7 x 28
= 2 x 22 x 4
= 176 cm
Q3. आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं | GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है | अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
हल :
Q4. किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है | यदि यह कार 66 km प्रति घंटे की चाल से चाल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है ?
हल :
पहिये का व्यास = 80 cm
पहिये की त्रिज्या (r) = 40 cm
कार की चाल = 66 km प्रति घंटा
Q5. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल : वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं -
इसलिए 2 π r = π r2
या 2 = r [दोनों पक्षों का सरलीकरण करने पर ]
अत: वृत्त की त्रिज्या 2 मात्रक है |
उत्तर : (A) 2 मात्रक
Chapter 12. वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 12.2
प्रश्नावली 12.2
Q1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60o है |
हल :
त्रिज्या (r) = 6 cm और कोण θ = 60o
Q2. एक वृत्त, के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है |
हल :
परिधि = 22 cm
या 2 π r = 22 cm
Q3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है | इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
हल :
त्रिज्या (r) = मिनट की सुई जिसकी लंबाई = 14 cm
Q4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है | निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड
( π = 3.14 का प्रयोग कीजिए )
हल :
(i) संगत लघु वृतखंड का क्षेत्रफल
त्रिज्या (r) = 10 cm
θ = 90०
Q5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60o का कोण अंतरित करता है | ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल : त्रिज्या (r) = 21 cm
θ = 60०
Q6. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60o का कोण अंतरित करती है | और दीर्घ वृत्तखंड़ों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Q7. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120o का कोण अंतरित करती है | संगत वृत्तखंड़ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
Q8. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है ( देखिए आकृति 12.11) | ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोडा चार सकता है |
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए | (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए )
(ii) घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल जब रस्सी की लंबाई 10 m हो -
Q9. एक वृताकार ब्रुच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है | तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसाकि आकृति 12.12 में दर्शाया गया है | तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
Q10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति 12.13 )| छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
Q11 किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं | प्रत्येक वाइपर की पट्टी की लंबाई 25 cm है और 115o के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है | पट्टियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ़ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए ।
Q12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house ) 80o कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है | समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके । (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए )
Q13. एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति 12.14 में दर्शाया गया है । यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो 0.35 रू. प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए ।
Q14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :
त्रिज्या R वाले के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण po है, निम्नलिखित है :
Chapter 12. वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 12.3
वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल
Q1. आकृति 12.19 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केंद्र है ।
हल :
दिया है : PQ = 24 cm और PR = 7 cm
RQ व्यास है और O वृत्त का केंद्र है :
इसलिए, ∠QPR = 90० (अर्धवृत्त में बना कोण)
समकोण त्रिभुज RPQ में पैथागोरस प्रमेय से
RQ2 = PQ2 + PR2
= 242 + 72
= 576 + 49
= 625
Q2. आकृति 12.20 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40o है |
हल : सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः R = 14 cm और r = 7 cm ∠AOC = 40o
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड AOC का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड BOD का क्षेत्रफल
Q3. आकृति 12.21 में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं ।
Q4. आकृति 12.22 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है ।
हल : समबाहु त्रिभुज की भुजा (a) = 12 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm और ∠AOB = 60० [समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण]
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ΔAOB का क्षेत्रफल + दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
Q5. भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसाकि आकृति 12.23 में दर्शाया गया है । वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Q6. एक वृत्ताकार मेज़पोश जिसकी त्रिज्या है में एक समबाहु त्रिभुज छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसाकि आकृति 12.24 में दिखाया गया है | इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
Q7. आकृति 12.25 में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है | A,B,C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है | छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
हल:
Q8. आकृति 12.26 एक दौड़ने का पथ ( racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं|
दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंड़ों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है | यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए |
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ क्षेत्रफल
हल:
दो आंतरिक समांतर रेखाखंड़ों के बीच की दूरी = 60 m
अत: वृताकार भाग की आंतरिक त्रिज्या (rr) = = 30 m
पथ की चौड़ाई = 10 m
अत: वृताकार भाग की बाह्य त्रिज्या (RR) = 30 + 10 = 40 m
अब, आयताकार भाग की लम्बाई (LL) = 106 m
और चौड़ाई (BB) = 10 m
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ क्षेत्रफल = आयताकार भाग का क्षे० + अर्धवृताकार भाग का क्षेत्रफल + आयताकार भाग का क्षे० + अर्धवृताकार भाग का क्षेत्रफल
Q9. आकृति 12.27 में, AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है | यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
हल:
Chapter 12. वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 12.4
Chapter 14. सांख्यिकी
प्रशनावली 14.1
प्रश्नावली 14.1
Q1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए |
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
Q2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |
हल : प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग-चिन्ह को इस सूत्र से ज्ञात करेंगे
कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से
Σfidi = - 480 + - 280 + 0 + 120 + 400 = - 760 + 520 = - 240
Σfi = 50 और a = 150
Q3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है | माध्य जेबखर्च 18 रू है | लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :
हल :
कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से
Σfidi = 2f - 40, Σfi = 44 + f और a = 18,
Q4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके ह्रदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई | एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :
हल :
कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से
Σfidi = 12, Σfi = 30 और a = 75.5,
अत: महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9 है |
Q5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न - भिन्न थी | पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?
हल:
दी गयी श्रृखला समावेशी (inclusive) है जहाँ वर्ग-अंतरालों में 1 का अंतर है | अत: दी गयी श्रृंखला को अपवर्जी (exclusive) श्रृंखला में बदलेंगे |
53 - 52 = 1
= 57 + 0.1875
= 57.1875 या 57.19
आमों की माध्य संख्या = 57.19
Q6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |
हल :
पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :
Σfiui = - 7, Σfi = 25, h = 50 , a = 225
पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर
Q7. वायु में सल्फर डाई - ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में ) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :
वायु में SO2 की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |
हल :
पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :
Σfiui = - 31, Σfi = 30, h = 0.04 , a = 0.14
पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर
वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता का माध्य = 0.099
Q8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की | एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :
हल :
विद्यार्थी की अनुपस्थित का माध्य = 12.48 दिन
Q9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :
हल :
पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :
Σfiui = - 2, Σfi = 35, h = 10 , a = 70
पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर
अत: माध्य साक्षरता दर = 69.43 %
Chapter 14. सांख्यिकी
प्रश्नावली 14.2
प्रश्नावली 14.2
Q1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए | दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति कि मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए |
हल :
कल्पित माध्य विधि (Assume Mean Method) और बहुलक के लिए सारणी:
बहुलक (Mode) के लिए सारणी से :
बहुलक वर्ग = 35 - 45
∴ l = 35,
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f1) = 23,
(f0) = 21, (f2) = 14,
वर्ग-आकार (h) = 10
Q2. निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में ) कि सूचना देते हैं :
उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए |
हल :
वर्ग 60 - 80 की सबसे अधिक बारंबारता 61 है, अत: बहुलक वर्ग 60 - 80 है |
इसलिए, l = 60, f1 = 61, f0 = 52, f2 = 38 और h = 20
अत: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल 65.63 है |
Q3. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते है | इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए | साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए |
हल :
बहुलक (mode) के लिए:
वर्ग 1500 - 2000 की बारंबारता सबसे अधिक 40 बार है अत: l = 1500
f1 = 40
f0 = 24
f2 = 33
h = 500
अत: परिवारों का बहुलक मासिक व्यय = ` 1847.83
माध्य (mean) के लिए पग-विचलन विधि से :
Q4. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक - विधार्थी अनुपात को दर्शाता है | इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए | दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए |
हल :
उपरोक्त सारणी के अनुसार
l = 30, f0 = 9, f1 = 10, f2 = 3, h = 5,
बहुलक (Mode) = 30.6
माध्य (Mean) के लिए :
a = 32.5, Sfiui = - 23, Sfi = 35, h = 5
अत: आंकड़ों का माध्य = 29.22 और बहुलक (Mode) = 30.6
Q5. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्टतम बल्लेबाज़ों द्वारा एकदिवसीय अंतराष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |
हल :
वर्ग 4000 - 5000 की आवृति सबसे अधिक बार हुई है इसलिए,
बहुलक वर्ग 4000 - 5000 है और
l = 4000, f1 = 18, f0 = 4, f2 = 9 और h = 1000
अत: दिए गए आँकडों का बहुलक (mode) = 4608.695 रन
Q6. एक विधार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई करों कि संख्याएँ नोट कि और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया | सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली करों कि संख्याओं से संबंधित है | ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए गए | इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |
हल :
वर्ग 40 - 50 की आवृति सबसे अधिक 20 बार हुई है इसलिए,
बहुलक वर्ग 40 - 50 है और
l = 40, f1 = 20, f0 = 12, f2 = 11 और h = 10
अत: दिए गए आँकडों का बहुलक (mode) = 44.7 कारें |
Chapter 14. सांख्यिकी
प्रश्नावली 14.3
प्रश्नावली 14.3
Q1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कि मासिक खपत दर्शाता है | इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए | इनकी तुलना कीजिए |
हल :
माध्यक (Median) के लिए :
34 संचयी बारंबारता के 42 में शामिल है |
इसलिए, माध्यक वर्ग 125 - 145 है |
अत: l = 125, f = 20, cf = 22 (माध्यक वर्ग से ठीक ऊपर वाला संचयी बारंबारता) और
h = 20,
बहुलक के लिए :
सारणी से हमें ज्ञात होता है कि वर्ग 125 - 145 की बारंबारता सबसे अधिक है इसलिए बहुलक वर्ग 125 - 145 है
अत: l = 125, f0 = 13, f1 = 20, f2 = 14 और h = 20
माध्यक = 137, माध्य = 137.058 और बहुलक = 135.76
Q2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :
हल :
दिया है, माध्यक = 28.5,
अत: 28.5 वर्ग-अन्तराल 20 - 30 में शामिल है |
इसलिए, l = 20, f = 20, h = 10 और cf = 5 + x
N = 60,
अब, 45 + x + y = 60
अथवा x + y = 60 - 45
x + y = 15
8 + y = 15 समी० (1) से
y = 15 - 8
y = 7
x = 8, और y = 7
Q3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है | माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो |
हल :
Q4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :
पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए |
संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है | तब ये वर्ग 117.5 - 126.5 - 135.5,...,171.5 - 180.5 में बदल जाते हैं |
हल :
Q5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :
एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए |
हल :
Q6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :
हल :
कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए | कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए | साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |
Q7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विधार्थियों के भार दर्शा रहा है | विधार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए |
हल :
Chapter 14. सांख्यिकी
प्रश्नावली 14.4
प्रश्नावली 14.4
Q1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों कि दैनिक आय दर्शाता है :
'उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार ' के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए |
हल : 'से कम प्रकार' का संचयी बारंबारता बंटन सारणी :
'से कम प्रकार' के तोरण के लिए क्रमित युग्म (order pairs) :
(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50)
Q2. किसी कक्षा के 35 विधार्थियों कि मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :
उपरोक्त आँकड़ों के 'लिए कम प्रकार का तोरण' खींचिए | इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए |
हल : 'से कम प्रकार के' तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी
'से कम प्रकार' के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :
(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32), (52, 35)
Q3. निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेंहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :
इस बंटन को 'अधिक के प्रकार के ' बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए |
हल : 'से अधिक प्रकार के' तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी:
'से अधिक प्रकार' के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :
(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)
Chapter 14. सांख्यिकी
प्रश्नावली 14.5
अतिरिक्त एवं महत्वपूर्ण प्रश्न :
Q1. निम्न आँकडें आरोही क्रम में लिखे गए हैं। यदि आँकडों का माध्यक 14.5 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
11, 12, 13, 7x, 7x + 1, 16, 16, 18, 20
Q2. 5 संख्याओं का माध्य 18 है | यदि एक संख्या निकल दी जाए, तो माध्य 16 हो जाता है | तो निकाली गयी संख्या ज्ञात कीजिए |
Q3. 20 संख्याओं का माध्य 17 है, यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाए तो नया माध्य ज्ञात कीजिए |
Q4. 'से कम प्रकार' तथा 'से अधिक' के तोरण के प्रतिच्छेदन बिन्दु का भुज किस केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप को दर्शाता है ?
Q5. यदि 2,3,5,4,2,6,3,5,5,2 और x का बहुलक 2 है, तो 'x' का मान ज्ञात कीजिए |
Q6. 2,3,6,0,1,4,8,2,5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए |
Q7. x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 और x + 6 का माध्य ज्ञात कीजिए |
Q8. प्रथम 10 विषम संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए |
Q9. यदि आरोही क्रम में लिखे प्रेक्षणों 24, 25, 26, x + 3, 30, 31, 34 की माध्यिका 27.5 है, तो 'x' का मान ज्ञात कीजिए |
Q10. 40 प्रेक्षणों का माध्य 160 था | जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 165 गलती से 125 लिखा गया था, सही माध्य ज्ञात कीजिए |
Q11. एक मैचों की श्रृंखला में एक बास्केट बॉल टीम द्वारा हासिल किए गए मैचों में अंक इस प्रकार था :
17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18 , 10, 24, 10, 8, 7, 10
तो आंकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए |
Q12. 40, 42, 80, 69, 56, 47 का परिसर क्या है ?
Q13. यदि 25, 30, 32, x, 43 का समान्तर माध्य 34 है तो x का मान ज्ञात कीजिए |
Q14. निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |
5, 7, 6, 5, 9, 8, 6, 7, 11, 10, 5, 7, 6, 8, 6, 9, 10.
Q15. 34, 32, x, x-1, 19, 15, 11 का माध्यक ज्ञात कीजिए जहाँ x आँकड़ें 10, 20, 30, 40, 50 का माध्य है |
Q16.
Q17.
Q18.
Q19.
Q20. एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकडें एकत्रित किए प्रति घर पौधों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।
Q21. किसी फैक्टरी के कुछ श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के बंटन का माध्य 145.20 है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।
Q22. निम्न सारणी कुछ परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय का माध्य व्यय 211 रू है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।
Q23. नीचे दिया हुआ बंटन एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकटों का माध्य ज्ञात कीजिए ।
Q24. निम्न ऑकडों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।
Q25. एक सर्वेक्षण के आँकडे दिए गए है जो दशवीं कक्षा के लडकियों का ऊँचाई है। निम्न आँकडों से माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Q26. p का मान ज्ञात कीजिए यदि दिए गए बंटन का माध्य 20 हो |
Q27. निम्न आँकडों से माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।
Q28. निम्न आँकडों का माध्यक 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए ।
Q29. उपयुक्त आँकडों से ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। प्राप्त ग्राफ से माध्यक ज्ञात कीजिए |
Q30.
Chapter 15. प्रायिकता
प्रायिकता 15.1
प्रायिकता 15.1
Q1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ............है |
(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती .........है | ऐसी घटना .........कहलाती है |
(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है .........है | ऐसी घटना .........कहलाती है |
(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग........है |
(v) किसी घटना की प्रायिकता........से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा.........से छोटी या उसके बराबर होती है |
उत्तर :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = 1 है |
(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है | ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है |
(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है | ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है |
(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है |
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है |
Q2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए |
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है | कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है |
उत्तर : समप्रायिक है |
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबौल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है | वह बास्केट में बौल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है |
उत्तर : समप्रायिक है |
(iii) एक सत्य - असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है | उत्तर सही है या गलत होगा |
उत्तर : समप्रायिक है |
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है | वह एक लड़का है या एक लड़की है |
उत्तर : समप्रायिक है |
Q3. फुटबौल के खेल को प्रांरभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बौल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्योँ माना जाता है ?
उत्तर : क्योंकि सिक्का उछालना एक समप्रायिक घटना है |
Q4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) 2/3
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर : (B) -1.5 [क्योंकि किसी भी प्रायिकता की सीमा 0 से 1 के बीच होती है|]
Q5. यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' कि प्रायिकता क्या है ?
हल : दिया है (E) = 0.05
हम जानते हैं कि P(E) + P(E) नहीं = 1
=> 0.05 + P(E) नहीं = 1
=> P(E) नहीं = 1 - 0.05
=> P(E) नहीं = 0.95 उत्तर
Q6. एक थैले में केवल नींबू कि महक वाली मीठी गोलियाँ हैं | मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे कि महक वाली है ?
Q7. यह दिया हुआ है कि 3 विधार्थियों के एक समूह में से 2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने कि प्रायिकता 0.9992 है | इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विधार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल : दिया है : P(E नहीं) = 0.9992
हम जानते है कि P(E) + P(E नहीं) = 1
अत: P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) + P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही न दिन हो) = 1
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) + 0.9992 = 1
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) = 1 - 0.9992
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) = 0.008 उत्तर
Q8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं | इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है| इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो
(ii) लाल नहीं हो ?
Q9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं | इस डिब्बे में से एक कंचा
(i) लाल है ?
(ii) सफेद है ?
(iii) हरा नहीं है ?
Q10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, 1 रू के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के और 5 के 10 सिक्के हैं | यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने अपर कोई एक सिक्का गिराने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा ?
(ii) 5 रू का नहीं होगा ?
हल : 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
1 रुपये के सिक्के = 50
2 रुपये के सिक्के = 20
5 रुपये के सिक्के = 10
कुल सिक्कों की संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
Q11. गोपी अपने जल - जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है | दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 15.4) | इसकी प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?
Q12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7, और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 15.5 ) | यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा ?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हल : कुल संख्या = 8
(i) 8 को करेगा ?
8 की संख्या = 1
Q13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या
हल : (i) एक अभाज्य संख्या
पासे पर अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6
एक पासे में कुल अंक = 6
अभाज्य संख्या = 2, 3, 5
Q14. 52 पत्तों कि अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकला जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट कि बेगम
Q15. ताश के पाँच पत्तों - ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का - को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है | फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है |
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य निकाला जाता
है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता
(a) एक इक्का है ?
(b) एक बेगम है ?
हल : निकाले गए कुल पत्तों की संख्या = 5
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |
बेगम की संख्या = 1
Q16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं | केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है | इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है | निकले गए पेन कि अच्छा होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए |
हल : ख़राब और अच्छे मिलाकर कुल पेन = 12 + 132 = 144
अच्छे पेन की संख्या = 132
Q17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?
हल : कुल बल्बों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
Q18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं | यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों कि एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
हल : कुल अंकित संख्याएँ = 90
(i) दो अंकों कि एक संख्या
दो अंकों की संख्याओं की संख्या = 81
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
1 से 90 के बीच पाँच से विभाज्य संख्या : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
Q19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है :
इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो ?
(ii) D प्राप्त हो ?
Q20. मान लीजिये आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?
Q21. 144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं | आप वाही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे | दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
Q22. उदाहरण 13 को देखिए | (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :
(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|' क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|' क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
हल : (i)
पासे के अंक का योग 2 के संभावित परिणाम = (1, 1)
पासे के अंक का योग 3 के संभावित परिणाम = (1, 2), (2, 1)
पासे के अंक का योग 4 के संभावित परिणाम = (1, 3), (3, 1), (2, 2)
पासे के अंक का योग 5 के संभावित परिणाम = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
पासे के अंक का योग 6 के संभावित परिणाम = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
पासे के अंक का योग 7 के संभावित परिणाम = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
पासे के अंक का योग 8 के संभावित परिणाम = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
पासे के अंक का योग 9 के संभावित परिणाम = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
पासे के अंक का योग 10 के संभावित परिणाम = (4, 6), (5, 5), (6, 4)
पासे के अंक का योग 11 के संभावित परिणाम = (5, 6), (6, 5)
पासे के अंक का योग 12 के संभावित परिणाम = (6, 6)
निम्न आँकडों से सारणी पूरा करने पर -
Q23. एक खेल में एक रूपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है | तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा | हनीफ के खेल में हार जाने कि प्रायिकता परिकलित कीजिए |
हल : तीन सिक्के उछालने के बाद परिणाम : HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT
जीत के लिए : HHH या TTT
जीत के लिए अनुकूल परिणाम = 2
कुल परिणाम = 8
Q24.एक पासे को दो बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?
[संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है |]
हल : कुल परिणाम = 6 × 6 = 36
5 अंक आने की संभावना = (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
Q25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है ? सकारण उत्तर दीजिए |
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम - दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं | अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम कि प्रायिकता 1/3 है |
उत्तर : ये तर्क असत्य है |
दो सिक्के उछालने पर परिणाम : HH, TH, HT, TT
कुल परिणाम = 4
Chapter 15. प्रायिकता
प्रश्नावली 15.2
प्रश्नावली 15.2
Q1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं ( मंगलवार से शनिवार तक ) | प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे ?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे ?
(iii) भिन्न - भिन्न दिनों में जाएँगे ?
Q2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1,2,2,3,3, और 6 लिखी हुई हैं | इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं | दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए |
इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा ?
(ii) 6 है ?
(iii) कम से कम 6 है ?
Q3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदे है यदि इस थैले में से नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता कि दुगुनी है, तो थैले में गेंदों कि संख्या ज्ञात कीजिए |
Q4.एक पेटी में 12 गेंदे है, जिनमें से x गेंद काली है | यदि इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है |
Q5. एक जार में 24 कंचे है जिनमे कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं | यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने कि प्रायिकता 2/3 है | जार में नीले कंचों कि संख्या ज्ञात कीजिए |